Меню Главная Случайная статья Настройки Уравнение четвёртой степени Материал из https://ru.wikipedia.org Уравнение четвёртой степени — в математике алгебраическое уравнение вида: ${\displaystyle f(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0,\quad a\neq 0.}$ Четвёртая степень для алгебраических уравнений является наивысшей, при которой существует аналитическое решение в радикалах в общем виде (то есть при любых значениях коэффициентов). Так как функция ${\displaystyle f(x)}$ является многочленом чётной степени, она имеет один и тот же предел при стремлении к плюс и к минус бесконечности. Если ${\displaystyle a>0}$, то функция возрастает до плюс бесконечности с обеих сторон, а значит, имеет глобальный минимум. Аналогично, если ${\displaystyle a<0}$, то функция убывает до минус бесконечности с обеих сторон, а значит, имеет глобальный максимум. Содержание 1 Корни уравнения 2 История 3 Решения 3.1 Решение через резольвенту 3.2 Решение Декарта — Эйлера 3.3 Решение Феррари 4 Биквадратное уравнение 5 Возвратные уравнения четвёртой степени 6 Примечания 7 Литература 8 Ссылки Корни уравнения Над полем комплексных чисел, согласно основной теореме алгебры, уравнение четвертой степени ${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e}$ всегда имеет 4 корня ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}}$ (с учётом кратности). Свойства корней различаются с помощью знака дискриминанта: ${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta &=256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a^{2}cd^{2}e-27a^{2}d^{4}\ +\\&+144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e-80abc^{2}de+18abcd^{3}+16ac^{4}e\ -\\&-4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}+18b^{3}cde-4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2}.\end{aligned}}}$ Возможны три случая: Если ${\displaystyle \Delta >0,}$ тогда уравнение имеет 4 различных вещественных корня. Если ${\displaystyle \Delta <0,}$ то уравнение имеет 4 различных корня, где как минимум 1 из них комплексный. Если ${\displaystyle \Delta =0,}$ тогда хотя бы два корня совпадают. Это может быть: один корень кратности 2; один корень кратности 3; один корень кратности 4; два корня кратности 2. Корни уравнения по теореме Виета для четвёртой степени ${\displaystyle x_{1},\,x_{2},\,x_{3},\,x_{4}}$ связаны с коэффициентами ${\displaystyle a,\,b,\,c,\,d,\,e}$ следующим образом: ${\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-{\frac {b}{a}},}$ ${\displaystyle x_{1}\,x_{2}+x_{1}\,x_{3}+x_{1}\,x_{4}+x_{2}\,x_{3}+x_{2}\,x_{4}+x_{3}\,x_{4}={\frac {c}{a}},}$ ${\displaystyle x_{1}\,x_{2}\,x_{3}+x_{1}\,x_{2}\,x_{4}+x_{1}\,x_{3}\,x_{4}+x_{2}\,x_{3}\,x_{4}=-{\frac {d}{a}},}$ ${\displaystyle x_{1}\,x_{2}\,x_{3}\,x_{4}={\frac {e}{a}}.}$ История Уравнения четвёртой степени впервые были рассмотрены древнеиндийскими математиками между IV в. до н. э. и II в. н. э. Лодовико Феррари приписывается получение решения уравнения четвёртой степени в 1540 году, но его работа опиралась на решение кубического уравнения, которого у него не было, поэтому сразу это решение не было опубликовано,[1] а было опубликовано только в 1545 вместе с решением кубического уравнения наставника Феррари — Джероламо Кардано в книге «Великое искусство»[2]. То, что это наибольшая степень уравнения, для которого можно указать общую формулу решения, было доказано в теореме Абеля — Руффини в 1824 году. Записки, оставленные Галуа, позже привели к элегантной теории корней многочленов, одним из результатов которой была эта теорема[3]. Решения Решение через резольвенту Решение уравнения четвёртой степени ${\displaystyle x^{4}+px^{2}+qx+r=0}$ сводится к решению кубической резольвенты ${\displaystyle y^{3}-2py^{2}+(p^{2}-4r)y+q^{2}=0.}$ Корни резольвенты ${\displaystyle y_{1},y_{2},y_{3}}$ связаны с корнями исходного уравнения ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}}$ (которые и нужно найти) следующими соотношениями: ${\displaystyle y_{1}=(x_{1}+x_{2})(x_{3}+x_{4}),}$ ${\displaystyle y_{2}=(x_{1}+x_{3})(x_{2}+x_{4}),}$ ${\displaystyle y_{3}=(x_{1}+x_{4})(x_{2}+x_{3}).}$ Корни резольвенты могут быть найдены по формуле Кардано. Три формулы соотношений между ${\displaystyle y_{i}}$ и ${\displaystyle x_{i}}$ вместе с уравнением (соотношение Виета для коэффициента при ${\displaystyle x^{3}}$) ${\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0}$ дают систему из 4 алгебраических уравнений с 4 неизвестными, которая легко решается. Решение Декарта — Эйлера В уравнении четвёртой степени ${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0,\quad a\neq 0}$ сделаем подстановку ${\displaystyle x=y-{\frac {b}{4a}}}$, получим уравнение в следующем виде (оно называется «неполным»): ${\displaystyle y^{4}+py^{2}+qy+r=0,}$ где ${\displaystyle p={\frac {8ac-3b^{2}}{8a^{2}}},}$ ${\displaystyle q={\frac {8a^{2}d-4abc+b^{3}}{8a^{3}}},}$ ${\displaystyle r={\frac {256a^{3}e-64a^{2}bd+16ab^{2}c-3b^{4}}{256a^{4}}}.}$ Корни ${\displaystyle y_{1},\,y_{2},\,y_{3},\,y_{4}}$ такого уравнения равны одному из следующих выражений: ${\displaystyle \pm {\sqrt {z_{1}}}}$ ${\displaystyle \pm {\sqrt {z_{2}}}}$ ${\displaystyle \pm {\sqrt {z_{3}}},}$ в которых сочетания знаков выбираются таким образом, чтобы выполнялось следующее соотношение: ${\displaystyle (\pm {\sqrt {z_{1}}})(\pm {\sqrt {z_{2}}})(\pm {\sqrt {z_{3}}})=-{\frac {q}{8}},}$ причём ${\displaystyle z_{1},\,z_{2},\,z_{3}}$ — это корни кубического уравнения ${\displaystyle z^{3}+{\frac {p}{2}}z^{2}+{\frac {p^{2}-4r}{16}}z-{\frac {q^{2}}{64}}=0.}$ Решение Феррари Решение уравнения четвёртой степени вида ${\displaystyle x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$ может быть найдено по методу Феррари. Если ${\displaystyle y_{1}}$ — произвольный корень кубического уравнения ${\displaystyle y^{3}-by^{2}+(ac-4d)y-a^{2}d+4bd-c^{2}=0,}$ (резольвенты основного уравнения), то четыре корня исходного уравнения находятся как корни двух квадратных уравнений ${\displaystyle x^{2}+{\frac {a}{2}}x+{\frac {y_{1}}{2}}=\pm {\sqrt {\left({\frac {a^{2}}{4}}-b+y_{1}\right)x^{2}+\left({\frac {a}{2}}y_{1}-c\right)x+{\frac {y_{1}^{2}}{4}}-d}}}$ где подкоренное выражение в правой части является полным квадратом. Биквадратное уравнение Биквадратное уравнение[4] — алгебраическое уравнение четвёртой степени вида ${\displaystyle ax^{4}+bx^{2}+c=0}$, где ${\displaystyle a,b,c}$ — заданные комплексные числа и ${\displaystyle a\not =0}$. Иначе говоря, это уравнение четвёртой степени, у которого второй и четвёртый коэффициенты равны нулю. Подстановкой ${\displaystyle y=x^{2};y\geqslant 0}$ оно сводится к квадратному уравнению относительно ${\displaystyle y}$. Четыре его корня находятся по формуле ${\displaystyle x_{1,2,3,4}=\pm {\sqrt {\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}.}$ Возвратные уравнения четвёртой степени Возвратное уравнение четвёртой степени является также относительно легко решаемым: для ${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+bx+a=0}$ такого, что ${\displaystyle a\neq 0}$, решение находится приведением к виду: ${\displaystyle a\left(x^{2}+{1 \over x^{2}}\right)+b\left(x+{1 \over x}\right)+c=0}$, После замены ${\displaystyle t={x+{1 \over x}}}$ ищется решение квадратного уравнения ${\displaystyle at^{2}+bt+c-2a=0}$, а затем — квадратного уравнения ${\displaystyle x^{2}-tx+1=0}$. Примечания Ferrari biography  (неопр.). Дата обращения: 26 сентября 2009. Архивировано 29 октября 2009 года. «Великое искусство» (Ars magna Архивная копия от 26 июня 2008 на Wayback Machine, 1545) Стюарт, Ян. Теория Галуа, издание третье (Chapman & Hall/CRC Mathematics, 2004) (англ.) В литературе до середины XX века биквадратным также могли называть уравнение четвёртой степени общего вида Литература Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 2003. — 832 с. — 5000 экз. — ISBN 5-8114-0485-9. Лекция 4 в кн.: Ссылки Решение Феррари (англ.). Дата обращения: 27 сентября 2009. Архивировано 19 февраля 2012 года. Weisstein, Eric W. Quadratic Equation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. Weisstein, Eric W. Biquadratic Equation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. Biquadratic equation (англ.) на сайте PlanetMath.