Ru.Wikipedia.Org - Интерполяционный многочлен Лагранжа

Меню
Главная
Случайная статья
Настройки

Интерполяционный многочлен Лагранжа
Материал из https://ru.wikipedia.org

Интерполяционный многочлен Лагранжа — многочлен минимальной степени, принимающий заданные значения в заданном наборе точек, то есть решающий задачу интерполяции.

Содержание

Определение

Пусть задана

n+1

пара чисел

(x_{0},y_{0}),(x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n},y_{n}),

где все

x_{j}

различны. Требуется построить многочлен

L(x)

степени не более

n

, для которого

L(x_{j})=y_{j}

.

Общий случай

Ж. Л. Лагранж предложил следующий способ вычисления таких многочленов:

L(x)=\sum _{i=0}^{n}y_{i}l_{i}(x),

где базисные полиномы

l_{i}

определяются по формуле

l_{i}(x)=\prod _{j=0,j\neq i}^{n}{\frac {x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}}={\frac {x-x_{0}}{x_{i}-x_{0}}}\cdots {\frac {x-x_{i-1}}{x_{i}-x_{i-1}}}\cdot {\frac {x-x_{i+1}}{x_{i}-x_{i+1}}}\cdots {\frac {x-x_{n}}{x_{i}-x_{n}}}

Для любого

i=0,\ldots ,n

многочлен

l_{i}

имеет степень

n

l_{i}(x_{j})=\left\{{\begin{array}{rl}0,&j\neq i,\\1,&j=i.\end{array}}\right.

Отсюда следует, что

L(x)

, являющийся линейной комбинацией многочленов

l_{i}(x)

, имеет степень не больше

n

L(x_{i})=y_{i}

.

Случай равноотстоящих узлов интерполяции

Пусть узлы интерполяции

x_{j}

являются равноотстоящими, то есть выражаются через начальную точку

x_{0}

и некоторую фиксированную положительную величину

h

следующим образом:

x_{j}=x_{0}+jh.

Отсюда следует, что

x_{j}-x_{i}=(j-i)h.

Подставляя эти выражения в формулу для базисного полинома и вынося

h

за знаки произведения в числителе и знаменателе, получим

l_{j}(x)={\prod _{i=0,\,i\neq j}^{n}{(x-x_{i}) \over (x_{j}-x_{i})}}={\prod \limits _{i=0,\,i\neq j}^{n}(x-x_{0}-ih) \over h^{n}\prod \limits _{i=0,\,i\neq j}^{n}(j-i)}

Теперь можно ввести замену переменной

y={{x-x_{0}} \over h}

и получить выражение для базисных полиномов через

y

, которое строится с использованием только целочисленной арифметики:

l_{j}(x)=l_{j}(x_{0}+yh)=(-1)^{n-j}C_{n}^{j}{\dfrac {y(y-1)\ldots (y-n)}{(y-i)n!}}.

Данные величины называются коэффициентами Лагранжа. Они не зависят ни от

y_{0},\ldots ,y_{n}

, ни от

h

и потому могут быть вычислены заранее и записаны в виде таблиц. Недостатком данного подхода является факториальная сложность числителя и знаменателя, что требует использования длинной арифметики.

Остаточный член

Если считать числа

y_{0},\ldots ,y_{n}

значениями некоторой функции

f

в узлах

x_{0},\ldots ,x_{n}

, то ошибка интерполирования функции

f

многочленом

L

равна

f(x)-L(x)={\dfrac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(x-x_{0})\ldots (x-x_{n}),

где

\xi

— некоторая средняя точка между наименьшим и наибольшим из чисел

x_{0},\ldots ,x_{n}

. Полагая

M_{n+1}=\sup _{x\in [x_{0},x_{n}]}|f^{(n+1)}(x)|

, можно записать

Единственность

Существует единственный многочлен степени не превосходящей

n

, принимающий заданные значения в

n+1

заданной точке.

Предположим, что существуют два различных многочлена

P(x)

Q(x)

степени не более

n

, для которых верно, что для

n+1

пар чисел

(x_{0},y_{0}),(x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n},y_{n}),

где все

x_{j}

различны,

P(x_{j})=Q(x_{j})=y_{j}.

Рассмотрим многочлен

L(x)=P(x)-Q(x)

. Подставляя в него

x_{j}

(

0\leq j\leq n

), получаем, что

L(x_{j})=P(x_{j})-Q(x_{j})=y_{j}-y_{j}=0

. Таким образом, многочлен

L(x)

имеет

n+1

корней и все они различны. Следовательно

L(x)\equiv 0

, так как ненулевой многочлен степени не превосходящей

n

имеет не более

n

корней. Следовательно,

P(x)=Q(x)

.

Это утверждение является обобщением того факта, что через любые две точки проходит единственная прямая.

С точки зрения линейной алгебры

На единственность интерполяционного многочлена можно также взглянуть с точки зрения СЛАУ. Рассмотрим систему уравнений

P(x_{0})=y_{0},P(x_{1})=y_{1},\dots ,P(x_{n})=y_{n}

. В явном виде она записывается как

{\begin{cases}a_{0}+a_{1}x_{0}+a_{2}x_{0}^{2}+\dots +a_{n}x_{0}^{n}=y_{0},\\a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{1}^{2}+\dots +a_{n}x_{1}^{n}=y_{1},\\\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots ,\\a_{0}+a_{1}x_{n}+a_{2}x_{n}^{2}+\dots +a_{n}x_{n}^{n}=y_{n}\\\end{cases}}

Её можно переписать в виде системы уравнений

Xa=y

с неизвестным вектором

a=(a_{0},a_{1},\dots ,a_{n})

{\begin{bmatrix}1&x_{0}&x_{0}^{2}&\dots &x_{0}^{n}\\1&x_{1}&x_{1}^{2}&\dots &x_{1}^{n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}&x_{n}^{2}&\dots &x_{n}^{n}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{0}\\a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}y_{0}\\y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{bmatrix}}

Матрица

X

в такой системе является матрицей Вандермонда и её определитель равен

\prod \limits _{i<j}(x_{i}-x_{j})

. Соответственно, если все точки

x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}

различны, то матрица невырождена и система обладает единственным решением.

С точки зрениякитайской теоремы об остатках

По теореме Безу остаток от деления

P(x)

на

(x-a)

равен

P(a)

. Таким образом, всю систему можно воспринимать в виде системы сравнений:

{\begin{cases}P(x)\equiv y_{0}{\pmod {x-x_{0}}},\\P(x)\equiv y_{1}{\pmod {x-x_{1}}},\\\dots ,\\P(x)\equiv y_{n}{\pmod {x-x_{n}}},\\\end{cases}}

По китайской теореме об остатках у такой системы есть единственное решение по модулю

(x-x_{0})(x-x_{1})\dots (x-x_{n})

, то есть, заданная система однозначно определяет многочлен степени не выше

n

. Такое представление многочлена в виде наборов остатков по модулям мономов аналогично представлению числа в виде остатков от деления на простые модули в системе остаточных классов. При этом явная формула для многочлена Лагранжа также может быть получена в соответствии с формулами китайской теоремы:

{\textstyle P(x)=\sum \limits _{i=0}^{n}y_{i}M_{i}M_{i}^{-1}}

, где

M_{i}=\prod \limits _{j\neq i}(x-x_{j})

M_{i}^{-1}=\prod \limits _{j\neq i}(x-x_{j})^{-1}{\pmod {x-x_{i}}}=\prod \limits _{j\neq i}(x_{i}-x_{j})^{-1}

.

Пример

Найдем формулу интерполяции для

f(x)=\mathop {\mathrm {tg} } \nolimits (x)

имеющей следующие значения:

{\begin{aligned}x_{0}&=-1.5&&&&&f(x_{0})&=-14,1014\\x_{1}&=-0.75&&&&&f(x_{1})&=-0,931596\\x_{2}&=0&&&&&f(x_{2})&=0\\x_{3}&=0.75&&&&&f(x_{3})&=0,931596\\x_{4}&=1.5&&&&&f(x_{4})&=14,1014.\end{aligned}}

l_{0}(x)={x-x_{1} \over x_{0}-x_{1}}\cdot {x-x_{2} \over x_{0}-x_{2}}\cdot {x-x_{3} \over x_{0}-x_{3}}\cdot {x-x_{4} \over x_{0}-x_{4}}={1 \over 243}x(2x-3)(4x-3)(4x+3)

l_{1}(x)={x-x_{0} \over x_{1}-x_{0}}\cdot {x-x_{2} \over x_{1}-x_{2}}\cdot {x-x_{3} \over x_{1}-x_{3}}\cdot {x-x_{4} \over x_{1}-x_{4}}={}-{8 \over 243}x(2x-3)(2x+3)(4x-3)

l_{2}(x)={x-x_{0} \over x_{2}-x_{0}}\cdot {x-x_{1} \over x_{2}-x_{1}}\cdot {x-x_{3} \over x_{2}-x_{3}}\cdot {x-x_{4} \over x_{2}-x_{4}}={3 \over 243}(2x+3)(4x+3)(4x-3)(2x-3)

l_{3}(x)={x-x_{0} \over x_{3}-x_{0}}\cdot {x-x_{1} \over x_{3}-x_{1}}\cdot {x-x_{2} \over x_{3}-x_{2}}\cdot {x-x_{4} \over x_{3}-x_{4}}=-{8 \over 243}x(2x-3)(2x+3)(4x+3)

l_{4}(x)={x-x_{0} \over x_{4}-x_{0}}\cdot {x-x_{1} \over x_{4}-x_{1}}\cdot {x-x_{2} \over x_{4}-x_{2}}\cdot {x-x_{3} \over x_{4}-x_{3}}={1 \over 243}x(2x+3)(4x-3)(4x+3).

Получим

{\begin{aligned}L(x)&={1 \over 243}{\Big (}f(x_{0})x(2x-3)(4x-3)(4x+3)\\&{}\qquad {}-8f(x_{1})x(2x-3)(2x+3)(4x-3)\\&{}\qquad {}+3f(x_{2})(2x+3)(4x+3)(4x-3)(2x-3)\\&{}\qquad {}-8f(x_{3})x(2x-3)(2x+3)(4x+3)\\&{}\qquad {}+f(x_{4})x(2x+3)(4x-3)(4x+3){\Big )}\\&=4,834848x^{3}-1,477474x.\end{aligned}}

Реализация общего случая на языке программирования Python

import numpy as np

# данные для примера
xi = np.array([-1.5, -0.75, 0, 0.75, 1.5])
yi = np.array([-14.1014, -0.931596, 0, 0.931596, 14.1014])


def get_coefficients(_pl: int, _xi: np.ndarray):
    '''
    Определение коэффициентов для множителей базисных полиномов l_i
    :param _pl: индекс базисного полинома
    :param _xi: массив значений x
    :return:
    '''
    n = int(_xi.shape[0])
    coefficients = np.empty((n, 2), dtype=float)
    for i in range(n):
        if i == _pl:
            coefficients[i][0] = float('inf')
            coefficients[i][1] = float('inf')
        else:
            coefficients[i][0] = 1 / (_xi[_pl] - _xi[i])
            coefficients[i][1] = -_xi[i] / (_xi[_pl] - _xi[i])
    filtered_coefficients = np.empty((n - 1, 2), dtype=float)
    j = 0
    for i in range(n):
        if coefficients[i][0] != float('inf'):
            # изменение последовательности, степень увеличивается
            filtered_coefficients[j][0] = coefficients[i][1]
            filtered_coefficients[j][1] = coefficients[i][0]
            j += 1
    return filtered_coefficients


def get_polynomial_l(_xi: np.ndarray):
    '''
    Определение базисных полиномов
    :param _xi: массив значений x
    :return:
    '''
    n = int(_xi.shape[0])
    pli = np.zeros((n, n), dtype=float)
    for pl in range(n):
        coefficients = get_coefficients(pl, _xi)
        for i in range(1, n - 1):  # проходим по массиву coefficients
            if i == 1:  # на второй итерации занимаются 0-2 степени
                pli[pl][0] = coefficients[i - 1][0] * coefficients[i][0]
                pli[pl][1] = coefficients[i - 1][1] * coefficients[i][0] + coefficients[i][1] * coefficients[i - 1][0]
                pli[pl][2] = coefficients[i - 1][1] * coefficients[i][1]
            else:
                clone_pli = np.zeros(n, dtype=float)
                for val in range(n):
                    clone_pli[val] = pli[pl][val]
                zeros_pli = np.zeros(n, dtype=float)
                for j in range(n-1):  # проходим по строке pl массива pli
                    product_1 = clone_pli[j] * coefficients[i][0]
                    product_2 = clone_pli[j] * coefficients[i][1]
                    zeros_pli[j] += product_1
                    zeros_pli[j+1] += product_2
                for val in range(n):
                    pli[pl][val] = zeros_pli[val]
    return pli

def get_polynomial(_xi: np.ndarray, _yi: np.ndarray):
    '''
    Определение интерполяционного многочлена Лагранжа
    :param _xi: массив значений x
    :param _yi: массив значений y
    :return:
    '''
    n = int(_xi.shape[0])
    polynomial_l = get_polynomial_l(_xi)
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            polynomial_l[i][j] *= _yi[i]
    L = np.zeros(n, dtype=float)
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            L[i] += polynomial_l[j][i]
    return L

# результат в виде массива коэффициентов многочлена при x в порядке увеличения степени
# [ 0.         -1.47747378  0.          4.8348476   0.        ]
# т.е. результирующий многочлен имеет вид: y(x) = -1.47747378*x + 4.8348476*x^3

Применения

Численное интегрирование

Пусть для функции

f(x)

известны значения

y_{i}=f(x_{i})

в некоторых точках. Тогда можно интерполировать эту функцию методом Лагранжа:

f(x)\approx \sum _{i=0}^{n}f(x_{i})l_{i}(x).

Полученное выражение можно использовать для приближённого вычисления определённого интеграла от функции

f

\int \limits _{a}^{b}f(x)dx\approx \sum _{i=0}^{n}f(x_{i})\int \limits _{a}^{b}l_{i}(x)dx

Значения интегралов от

l_{i}

не зависят от

f(x)

и их можно вычислить заранее с использованием последовательности

x_{j}

.

Литература

Березин, И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. Том I. — 2-е изд., стереотипное — М.: Физматлит. 1962.

Ссылки

М. А. Тынкевич. Глава 7.6.1. Интерполяционный многочлен Лагранжа // Численные методы анализа. — Кемерово, 2002. — ISBN 5-89070-042-1. (недоступная ссылка)
А. Г. Хованский. Полиномы Лагранжа и их применения. Видео-лекция. VI Летняя школа «Современная математика», Дубна, 2006.

См. также