Меню Главная Случайная статья Настройки Обратная функция ошибок Материал из https://ru.wikipedia.org Обратная функция ошибок (англ. inverse error function) — специальная функция, определяемая как обратная функция к функции ошибок ${\displaystyle \operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt}$. Обозначается ${\displaystyle \operatorname {inverf} (x)}$ или ${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}(x)}$. Содержание 1 Связанные функции 2 Свойства 2.1 Ряд Тейлора 2.2 Асимптотика 3 Применение 3.1 Уравнение диффузии 4 В программном обеспечении 5 Примечания 6 Литература Связанные функции Обратная дополнительная функция ошибок, обозначаемая ${\displaystyle \operatorname {inverfc} (x)}$, аналогично определяется как обратная к дополнительной функции ошибок и связана с ${\displaystyle \operatorname {inverf} (x)}$ следующим образом: ${\displaystyle \operatorname {inverfc} (x)=\operatorname {inverf} (1-x)}$[1]. Пробит-функция (англ. probit) — обратная функция к функции распределения стандартного нормального распределения ${\displaystyle {\mathfrak {N}}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\,dt={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\right]\,}$[2][3], поэтому ${\displaystyle \operatorname {probit} (x)={\mathfrak {N}}^{-1}(x)={\sqrt {2}}\operatorname {inverf} (2x-1)}$. Свойства Вещественная обратная функция ошибок определена при ${\displaystyle -1<x<1}$ и является нечётной функцией[1]. ${\displaystyle y=\operatorname {inverf} (x)}$ является решением нелинейного дифференциального уравнения ${\displaystyle y''-2y(y')^{2}=0}$ при начальных условиях ${\displaystyle y(0)=0}$ и ${\displaystyle y'(0)={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}}$. Эта функция также удовлетворяет нелинейному дифференциально-интегральному уравнению ${\displaystyle y'(x)\int \limits _{0}^{x}y(t)\,dt=-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}y'(x)}$[4]. Производная обратной функции ошибок равна ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {inverf} (x)={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}e^{\operatorname {inverf} ^{2}(x)}}$, а первообразная — ${\displaystyle \int \operatorname {inverf} (x)\,dx=-{\frac {e^{-\operatorname {inverf} ^{2}(x)}}{\sqrt {\pi }}}}$. Кроме того, известны следующие определённые интегралы: ${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\operatorname {inverf} (x)\,dx={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}}$ ${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\ln \operatorname {inverf} (x)\,dx=-{\frac {\gamma }{2}}-\ln 2}$[5]. Ряд Тейлора Ряд Маклорена для обратной функции ошибок имеет следующий вид: ${\displaystyle \operatorname {inverf} (x)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {c_{n}}{2n+1}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}x\right)^{2n+1}}$, где ${\displaystyle c_{n}=\sum \limits _{k=0}^{n-1}{\frac {c_{k}c_{n-1-k}}{(k+1)(2k+1)}}}$ и ${\displaystyle c_{0}=1}$[5]. Числителям и знаменателям коэффициентов ${\displaystyle {\frac {c_{n}}{2n+1}}}$ в несокращённом виде соответствуют последовательность A002067 в OEIS и последовательность A007019 в OEIS соответственно. Будучи сокращёнными, они же образуют последовательность A092676 в OEIS и последовательность A092677 в OEIS[5]. Для старших производных обратной функции ошибок в точке ${\displaystyle x=0}$ также верно следующее соотношение: ${\displaystyle d_{n+1}={\sqrt {\pi }}\sum \limits _{k=0}^{n-1}C_{n}^{k+1}d_{k}d_{n-k}}$ при условиях ${\displaystyle d_{0}=0}$ и ${\displaystyle d_{1}={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}}$, где ${\displaystyle d_{n}={\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\operatorname {inverf} (x){\Bigg |}_{x=0}}$[6]. При ${\displaystyle n\to \infty }$ асимптотически ${\displaystyle {\frac {d_{n}}{n!}}\sim {\frac {1+(-1)^{n-1}}{2n{\sqrt {\ln n}}}}}$[7]. Асимптотика При ${\displaystyle x\to 1}$ функция представима асимптотическим рядом: ${\displaystyle (\operatorname {inverf} (x))^{2}\sim \eta -{\frac {1}{2}}\ln \eta +\eta ^{-1}\left({\frac {1}{4}}\ln \eta -{\frac {1}{2}}\right)+\eta ^{-2}\left({\frac {1}{16}}\ln ^{2}\eta -{\frac {3}{8}}\ln \eta +{\frac {7}{8}}\right)+\eta ^{-3}\left({\frac {1}{48}}\ln ^{3}\eta -{\frac {7}{32}}\ln ^{2}\eta +{\frac {17}{16}}\ln \eta -{\frac {107}{48}}\right)+\eta ^{-4}\left({\frac {1}{128}}\ln ^{4}\eta -{\frac {23}{192}}\ln ^{3}\eta +{\frac {29}{32}}\ln ^{2}\eta -{\frac {31}{8}}\ln \eta +{\frac {1489}{192}}\right)+\cdots }$, где ${\displaystyle \eta =-\ln[{\sqrt {\pi }}(1-x)]}$[8]. Кроме того, при ${\displaystyle x\to 1^{-}}$ верно ${\displaystyle \operatorname {inverf} (x)\sim {\sqrt {{\frac {1}{2}}W\left({\frac {2}{\pi (x-1)^{2}}}\right)}}}$, где ${\displaystyle W(z)}$ — W-функция Ламберта[9]. Пусть ${\displaystyle y=\operatorname {inverfc} (x)}$ и ${\displaystyle t={\frac {1}{y}}}$, а также ${\displaystyle G(y)={\sqrt {\pi }}e^{y^{2}}\operatorname {erfc} (y)={\cfrac {t}{1+{\cfrac {\frac {t^{2}}{2}}{1+{\cfrac {2{\frac {t^{2}}{2}}}{1+{\cfrac {3{\frac {t^{2}}{2}}}{1+\ldots }}}}}}}}}$ ${\displaystyle F(x,y)={\frac {G(y)}{{\sqrt {\pi }}x}}}$. Тогда ${\displaystyle y^{2}=\ln F(x,y)}$. Это соотношение может быть использовано для итеративного приближённого вычисления ${\displaystyle y}$ в области малых ${\displaystyle x}$: ${\displaystyle y_{n+1}={\sqrt {\ln F(x,y_{n})}}}$, где за начальное значение можно взять ${\displaystyle y_{0}={\sqrt {-\ln \left[{\sqrt {\pi }}x{\sqrt {-\ln x}}\right]}}}$[10][11]. Применение Обратная функция ошибок используется при численном решении уравнений диффузии и уравнений Эйнштейна для скалярного поля, а также вычислении химических потенциалов[12]. Уравнение диффузии Одномерное уравнение диффузии вида ${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left(D{\frac {\partial \theta }{\partial x}}\right)}$ с начальным условием ${\displaystyle \theta =\theta _{n},t=0,x>0}$ и граничным условием ${\displaystyle \theta =\theta _{0},x=0,t\geq 0}$, где ${\displaystyle D}$ является однозначной функцией ${\displaystyle \theta }$, обычно решается приближёнными численными методами[13]. Однако при ${\displaystyle \theta }$, достаточно близких к ${\displaystyle \theta _{n}}$, изменение функции ${\displaystyle D}$ можно считать малым[14]. Пусть интервал от ${\displaystyle \theta _{0}}$ до ${\displaystyle \theta _{n}}$ разбит на ${\displaystyle n}$ равных частей длиной ${\displaystyle \delta \theta }$, и ${\displaystyle \theta _{r}=\theta _{0}-r\delta \theta }$. Тогда на отрезке ${\displaystyle [\theta _{n};\theta _{n-1}]}$ функцию ${\displaystyle D}$ можно заменить константой ${\displaystyle {\overline {D}}_{n-{\frac {1}{2}}}={\frac {\int \limits _{\theta _{n}}^{\theta _{n-1}}D\,d\theta }{\int \limits _{\theta _{n}}^{\theta _{n-1}}\,d\theta }}={\frac {1}{\delta \theta }}\int \limits _{\theta _{n}}^{\theta _{n}+\delta \theta }D\,d\theta }$. В таком случае исходное уравнение сведётся к ${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}={\overline {D}}_{n-{\frac {1}{2}}}{\frac {\partial ^{2}\theta }{\partial x^{2}}}}$ ${\displaystyle \theta =\theta _{n-1},x=\phi _{n-1}{\sqrt {t}}}$ ${\displaystyle \theta \to \theta _{n},x\to \infty }$. Оно имеет точное решение в виде ${\displaystyle \phi =2{\sqrt {{\overline {D}}_{n-{\frac {1}{2}}}}}\operatorname {inverfc} \left({\frac {\theta -\theta _{n}}{\delta \theta }}\operatorname {erfc} \left({\frac {\phi _{n-1}}{2{\sqrt {{\overline {D}}_{n-{\frac {1}{2}}}}}}}\right)\right)}$, где ${\displaystyle \phi ={\frac {x}{\sqrt {t}}}}$[15]. В программном обеспечении В языке Wolfram обратная функция ошибок вызывается через InverseErf[s], где ${\displaystyle s}$ — произвольный вещественный аргумент от –1 до 1. Кроме того, InverseErf[s, z0] возвращает функцию, обратную к ${\displaystyle s=\operatorname {erf} (z)-\operatorname {erf} (z_{0})}$[16]. Библиотека boost/math для C++ содержит функцию erf_inv(T p, const Policy&), первый аргумент которой соответствует аргументу ${\displaystyle \operatorname {inverf} (x)}$, а второй, необязательный, указывает точность вычисления и способ обработки исключений[17]. Библиотека SciPy для Python также содержит реализацию ${\displaystyle \operatorname {inverf} (x)}$, она называется erfinv(y, out=None). Первый аргумент обязателен и должен содержать значение или список значений аргумента ${\displaystyle \operatorname {inverf} (x)}$, а второй опционален и может содержать список, в который будут помещены значения функции ${\displaystyle \operatorname {inverf} (x)}$. Эта функция является обёрткой для функции erf_inv() из boost/math для C++[18]. Примечания 1 2 Blair, Edwards & Johnson, 1976, p. 827—828. Dominici, 2003, p. 2. Weisstein, Eric W. Normal Distribution Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. Dominici, 2008, p. 2. 1 2 3 Weisstein, Eric W. Inverse Erf (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. Dominici, 2008, p. 3. Dominici, 2008, p. 9. Blair, Edwards & Johnson, 1976, p. 828. Dominici, 2008, p. 12. Fettis, 1974, p. 585—586. Corrigenda, 1975, p. 673. Dominici, 2008, p. 1. Philip, 1955, p. 885. Philip, 1955, p. 887. Philip, 1955, p. 886—887. InverseErf — Wolfram Documentation . Дата обращения: 30 сентября 2025. Error Function Inverses . Дата обращения: 30 сентября 2025. scipy.special.erfinv — SciPy v1.16.2 Manual . Дата обращения: 30 сентября 2025. Литература Philip, J. R. (1955). Numerical solution of equations of the diffusion type with diffusivity concentration-dependent. Transactions of the Faraday Society. 51: 885–892. doi:10.1039/TF9555100885. Dominici, Diego. Some properties of the inverse error function  (январь 2008). doi:10.1090/conm/457/08910. Дата обращения: 28 сентября 2025.