Меню Главная Случайная статья Настройки Обсуждение:Экспонента Материал из https://ru.wikipedia.org Эта статья тематически связана с вики-проектом «Математика», цель которого — создание и улучшение статей по темам, связанным с математикой. Вы можете её отредактировать, а также присоединиться к проекту, принять участие в его обсуждении и поработать над требуемыми статьями. Содержание 1 Как она появилась? 2 Комплексная экспонента 3 Отдельная статья для матричной экспоненты 4 Единственная функция, производная которой совпадает с исходной функцией Как она появилась? как она появилась, откуда взялась, каков смысл был ввода экспоненты в математику?:) 77.122.253.126 16:49, 6 июня 2008 (UTC) Ни фига не понятно. Напишите нормальное вступление или определение для чайников.--Pantzer 00:00, 8 декабря 2008 (UTC)[ответить] Комплексная экспонента Сходимость данного ряда легко доказывается: ${\displaystyle \left|e^{iy}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\right|=\left|\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\right|\leq \sum _{n=0}^{\infty }\left|{\frac {x^{n}}{n!}}\right|=e^{|x|}}$. Кто понимает, почему тут ${\displaystyle \left|e^{iy}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\right|=\left|\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\right|}$ ? --Nashev 13:52, 26 апреля 2010 (UTC)[ответить] Потому что ${\displaystyle \left|e^{iy}\right|=1}$ - число на единичной окружности. --infovarius 20:11, 26 апреля 2010 (UTC)[ответить] Если можете, пожалуйста чуть подробнее! Откуда и почему тут окружность? --Nashev 22:22, 27 апреля 2010 (UTC)[ответить] У меня складывается ощущение, что периодичность экспоненты по мнимой оси — искусственно введённая фича, из которой и получилась вся связь чисел ${\displaystyle e}$ и ${\displaystyle \pi }$, формулы Эйлера, экспоненциальная форма комплексных чисел и т. п. Но прямо это почему-то нигде не написано... Или я таки ошибаюсь? --Nashev 22:44, 1 мая 2010 (UTC)[ответить] Хм.. Кажись, доказательство формулы Эйлера выводит эту периодичность через ряды Тейлора: ${\displaystyle e^{ix}=1+{\frac {ix}{1!}}+{\frac {(ix)^{2}}{2!}}+{\frac {(ix)^{3}}{3!}}+\ldots =\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\ldots \right)+i\left({\frac {x}{1!}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots \right)}$, а тут уже первая скобка косинус, вторая - синус. Осталось понять, как получается такое равенство, и почему без i из экспоненты тригонометрии не выходит. --Nashev 23:50, 1 мая 2010 (UTC)[ответить] Ряды Тейлора (или Маклорена?). Их мне придётся пока брать за аксиоимы: ${\displaystyle \mathrm {e} ^{x}={\frac {x^{0}}{0!}}+{\frac {x^{1}}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}},x\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \cos x={\frac {x^{0}}{0!}}-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}},x\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \sin x={\frac {x^{1}}{1!}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots \ =\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}},x\in \mathbb {C} }$ Расписал слагаемые в несокращённой форме, но это не до конца помогло: не понимаю, откуда в доказательстве формулы Эйлера берутся минусы? Наверно, это как-то связано с ${\displaystyle i^{2}=-1}$, но как? --Nashev 00:25, 2 мая 2010 (UTC)[ответить] Расписал себе поподробнее то доказательство: ${\displaystyle e^{ix}={\frac {(ix)^{0}}{0!}}+{\frac {(ix)^{1}}{1!}}+{\frac {(ix)^{2}}{2!}}+{\frac {(ix)^{3}}{3!}}+{\frac {(ix)^{4}}{4!}}+{\frac {(ix)^{5}}{5!}}+\ldots =}$ ${\displaystyle {\frac {i^{0}x^{0}}{0!}}+{\frac {i^{1}x^{1}}{1!}}+{\frac {i^{2}x^{2}}{2!}}+{\frac {i^{3}x^{3}}{3!}}+{\frac {i^{4}x^{4}}{4!}}+{\frac {i^{5}x^{5}}{5!}}+\ldots =}$ ${\displaystyle {\frac {x^{0}}{0!}}+{\frac {i\cdot x^{1}}{1!}}+{\frac {(-1)\cdot x^{2}}{2!}}+{\frac {i\cdot (-1)\cdot x^{3}}{3!}}+{\frac {(-1)\cdot (-1)\cdot x^{4}}{4!}}+{\frac {i\cdot (-1)\cdot (-1)\cdot x^{5}}{5!}}+\ldots =}$ ${\displaystyle \left({\frac {x^{0}}{0!}}-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\ldots \right)+i\left({\frac {x^{1}}{1!}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots \right)}$, Источник периодичности обнаружил: она вытекает из чередования знака и мнимости целых степеней i. Забавно, как оно распространяется потом на нецелые степени и из этого получается плавное вращение! В итоге, у меня вопрос: стоит что-нибудь из этих изысканий в статью вносить, или всем кроме меня это самоочевидно? --Nashev 00:38, 2 мая 2010 (UTC)[ответить] Думаю, не стоит. Разобрались со своей личной непоняткой и хорошо. --infovarius 20:26, 2 мая 2010 (UTC)[ответить] Интересно, с какого перепугу из периодичности функции следует ее бесконечнолистность? Fxls 14:14, 27 октября 2011 (UTC)[ответить] Отдельная статья для матричной экспоненты Материала более чем достаточно: en:Matrix_exponential Mikhael 666 mikhailovich 11:52, 21 декабря 2013 (UTC)[ответить] Единственная функция, производная которой совпадает с исходной функцией В статье утверждается "Экспонента -- единственная функция, производная (а также соответственно и первообразная) которой совпадает с исходной функцией", но как тогда быть с функцией f(z) 0? — 188.18.129.33 06:12, 10 февраля 2020 (UTC)[ответить] Справедливое замечание. На самом деле, целое семейство функций — экспонента помноженная на константу. Вы привели вырожденный случай, — когда множитель равен 0. Пока для спасения положения добавил слова «с точностью до постоянного множителя». --Wisgest (обс.) 18:00, 10 февраля 2020 (UTC)[ответить]