Меню Главная Случайная статья Настройки Математическое ожидание Материал из https://ru.wikipedia.org Математическое ожидание — понятие в теории вероятностей, означающее среднее (взвешенное по вероятностям возможных значений) значение случайной величины[1]. В случае непрерывной случайной величины подразумевается взвешивание по плотности распределения (более строгие определения см. ниже). Математическое ожидание случайного вектора равно вектору, компоненты которого равны математическим ожиданиям компонентов случайного вектора. Обозначается через ${\displaystyle \mathbb {E} [X]}$[2] (например, от англ. Expected value или нем. Erwartungswert); в русскоязычной литературе также встречается обозначение ${\displaystyle M[X]}$ (возможно, от англ. Mean value или нем. Mittelwert, а возможно от «Математическое ожидание»). В статистике часто используют обозначение ${\displaystyle \mu }$. Для случайной величины, принимающей значения только 0 или 1, математическое ожидание равно p — вероятности «единицы». Математическое ожидание суммы таких случайных величин равно np, где n — количество таких случайных величин. При этом вероятности появления определённого количества единиц рассчитываются по биномиальному распределению. Поэтому в литературе, скорее всего, легче найти запись, что мат. ожидание биномиального распределения равно np[3]. Некоторые случайные величины не имеют математического ожидания, например, случайные величины, имеющие распределение Коши. На практике математическое ожидание обычно оценивается как среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины (выборочное среднее, среднее по выборке). Доказано, что при соблюдении определённых особых условий (в частности, если выборка является случайной, то есть наблюдения являются независимыми) выборочное среднее стремится к истинному значению математического ожидания случайной величины при стремлении объёма выборки (количества наблюдений, испытаний, измерений) к бесконечности. Содержание 1 Определение 1.1 Общее определение через интеграл Лебега 1.2 Определение через функцию распределения случайной величины 1.3 Определение для абсолютно непрерывной случайной величины (через плотность распределения) 1.4 Определение для дискретной случайной величины 1.4.1 Математическое ожидание целочисленной величины 2 Математическое ожидание случайного вектора 3 Математическое ожидание преобразования случайной величины 4 Свойства математического ожидания 4.1 Неравенства, связанные с математическим ожиданием 4.2 Теоремы, связанные с математическим ожиданием 5 Примеры 6 См. также 7 Примечания 8 Литература 9 Ссылки Определение Общее определение через интеграл Лебега Пусть задано вероятностное пространство ${\displaystyle (\Omega ,{\mathfrak {A}},\mathbb {P} )}$ и определённая на нём случайная величина ${\displaystyle X}$. То есть, по определению, ${\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} }$ — измеримая функция. Если существует интеграл Лебега от ${\displaystyle X}$ по пространству ${\displaystyle \Omega }$, то он называется математическим ожиданием, или средним (ожидаемым) значением и обозначается ${\displaystyle M[X]}$ или ${\displaystyle \mathbb {E} [X]}$. ${\displaystyle \mathbb {E} [X]=\int \limits _{\Omega }\!X(\omega )\,\mathbb {P} (d\omega ).}$ Определение через функцию распределения случайной величины Если ${\displaystyle F_{X}(x)}$ — функция распределения случайной величины, то её математическое ожидание задаётся интегралом Лебега — Стилтьеса: ${\displaystyle \mathbb {E} [X]=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!x\,dF_{X}(x)}$, ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$. Определение для абсолютно непрерывной случайной величины (через плотность распределения) Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины, распределение которой задаётся плотностью ${\displaystyle f_{X}(x)}$, равно ${\displaystyle \mathbb {E} [X]=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!xf_{X}(x)\,dx}$, где несобственный интеграл должен сходиться абсолютно. Определение для дискретной случайной величины Если ${\displaystyle X}$ — дискретная случайная величина, имеющая распределение ${\displaystyle \mathbb {P} (X=x_{i})=p_{i}}$ , ${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }p_{i}=1}$, то прямо из определения интеграла Лебега следует, что ${\displaystyle \mathbb {E} [X]=\sum \limits _{i=1}^{\infty }x_{i}\,p_{i}}$, где ряд должен сходиться абсолютно. Например, случайная величина ${\displaystyle \mathbb {P} \left(\left\{\xi =2^{n}{\frac {(-1)^{n}}{n}}\right\}\right)={\frac {1}{2^{n}}},\ n=1,2,\dots }$ не имеет математического ожидания, хотя ряд ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }2^{n}{\frac {(-1)^{n}}{n}}{\frac {1}{2^{n}}}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n}}}$ сходится (условно по признаку Лейбница). Если ${\displaystyle X}$ — положительная целочисленная случайная величина (частный случай дискретной), имеющая распределение вероятностей ${\displaystyle \mathbb {P} (X=j)=p_{j}}$ , ${\displaystyle j=0,1,\dotsc }$, ${\displaystyle \sum \limits _{j=0}^{\infty }p_{j}=1}$, то её математическое ожидание может быть выражено через производящую функцию последовательности ${\displaystyle \{p_{i}\}}$ ${\displaystyle P(s)=\sum _{k=0}^{\infty }\;p_{k}s^{k}}$ как значение первой производной в единице: ${\displaystyle \mathbb {E} [X]=P'(1)}$. Если математическое ожидание ${\displaystyle X}$ бесконечно, то ${\displaystyle \lim _{s\to 1}P'(s)=\infty }$ и мы будем писать ${\displaystyle P'(1)=\mathbb {E} [X]=\infty }$ Теперь возьмём производящую функцию ${\displaystyle Q(s)}$ последовательности «хвостов» распределения ${\displaystyle \{q_{k}\}}$ ${\displaystyle q_{k}=\mathbb {P} (X>k)=\sum _{j=k+1}^{\infty }{p_{j}}}$ , ${\displaystyle Q(s)=\sum _{k=0}^{\infty }q_{k}s^{k}.}$ Эта производящая функция связана с определённой ранее функцией ${\displaystyle P(s)}$ свойством: ${\displaystyle Q(s)={\frac {1-P(s)}{1-s}}}$ при ${\displaystyle |s|<1}$. Из этого по теореме о среднем следует, что математическое ожидание равно просто значению этой функции в единице: ${\displaystyle \mathbb {E} [X]=P'(1)=Q(1)}$ Математическое ожидание случайного вектора Пусть ${\displaystyle X=(X_{1},\dots ,X_{n})^{\top }\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$ — случайный вектор. Тогда по определению ${\displaystyle \mathbb {E} [X]=(\mathbb {E} [X_{1}],\dots ,\mathbb {E} [X_{n}])^{\top }}$, то есть математическое ожидание вектора определяется покомпонентно. Математическое ожидание преобразования случайной величины Пусть ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ — борелевская функция, такая что случайная величина ${\displaystyle Y=g(X)}$ имеет конечное математическое ожидание. Тогда для него справедлива формула ${\displaystyle \mathbb {E} \left[g(X)\right]=\sum \limits _{i=1}^{\infty }g(x_{i})p_{i},}$ если ${\displaystyle X}$ имеет дискретное распределение; ${\displaystyle \mathbb {E} \left[g(X)\right]=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!g(x)f_{X}(x)\,dx,}$ если ${\displaystyle X}$ имеет абсолютно непрерывное распределение. Если распределение ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X}}$ случайной величины ${\displaystyle X}$ общего вида, то ${\displaystyle \mathbb {E} \left[g(X)\right]=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!g(x)\,\mathbb {P} ^{X}(dx).}$ В специальном случае, когда ${\displaystyle g(X)=X^{k}}$, математическое ожидание ${\displaystyle \mathbb {E} [g(X)]=\mathbb {E} [X^{k}]}$ называется ${\displaystyle k}$-м моментом случайной величины. Свойства математического ожидания