Меню Главная Случайная статья Настройки Отрицательное биномиальное распределение Материал из https://ru.wikipedia.org Отрицательное биномиальное распределение, также называемое распределением Паскаля — это распределение дискретной случайной величины, равной числу произошедших неудач в последовательности испытаний Бернулли с вероятностью успеха ${\displaystyle p}$, проводимых до ${\displaystyle r}$-го успеха. Содержание 1 Определение 2 Функции вероятности и распределения 3 Моменты 4 Свойства 5 Частные случаи отрицательного биномиального распределения 6 Примечания Определение Пусть ${\displaystyle \{X_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ — последовательность независимых случайных величин с распределением Бернулли, то есть ${\displaystyle X_{i}=\left\{{\begin{matrix}1,&p\\0,&q\equiv 1-p\end{matrix}}\right.,\;i\in \mathbb {N} .}$ Построим случайную величину ${\displaystyle Y}$ следующим образом. Пусть ${\displaystyle k+r}$ — номер ${\displaystyle r}$-го успеха в этой последовательности. Тогда ${\displaystyle Y=k}$. Более строго, положим ${\displaystyle S_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}}$. Тогда ${\displaystyle Y=\inf\{n\mid S_{n}=r\}-r}$. Распределение случайной величины ${\displaystyle Y}$, определённой таким образом, называется отрицательным биномиальным. Пишут: ${\displaystyle Y\sim \mathrm {NB} (r,p)}$. Функции вероятности и распределения Функция вероятности случайной величины ${\displaystyle Y}$ имеет вид: ${\displaystyle \mathbb {P} (Y=k)={\binom {k+r-1}{k}}\,p^{r}q^{k},\;k=0,1,2,\ldots }$. Функция распределения ${\displaystyle Y}$ кусочно-постоянна, и её значения в целых точках может быть выражено через неполную бета-функцию: ${\displaystyle F_{Y}(k)=I_{p}(r,k+1)}$. Моменты Производящая функция моментов отрицательного биномиального распределения имеет вид: ${\displaystyle M_{Y}(t)=\left({\frac {p}{1-qe^{t}}}\right)^{r}}$, откуда ${\displaystyle \mathbb {E} [Y]={\frac {rq}{p}}}$ ${\displaystyle \mathrm {D} [Y]={\frac {rq}{p^{2}}}}$ Свойства Пусть ${\displaystyle Y_{i}\sim NB(r_{i},p)}$, тогда ${\displaystyle \sum _{i}Y_{i}\sim NB\left(\sum _{i}r_{i},p\right)}$ Частные случаи отрицательного биномиального распределения При r отрицательное биномиальное распределение становится распределением Пуассона Если параметр r - целое число, то отрицательное биномиальное распределение становится обобщенным распределением Бозе-Эйнштейна [1]. При r=1 отрицательное биномиальное распределение становится геометрическим распределением При r=1 получающееся геометрическое распределение является распределением Бозе-Эйнштейна для одного источника (a single source) [1]. Примечания 1 2 Schopper H. (Ed.) Electron - Positron Interactions. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. 1992. P. 133// https://www.twirpx.org/file/3458790/ Архивная копия от 10 мая 2021 на Wayback Machine