Меню Главная Случайная статья Настройки Распределение Бернулли Материал из https://ru.wikipedia.org Распределение Бернулли в теории вероятностей и математической статистике — дискретное распределение вероятностей, моделирующее случайный эксперимент произвольной природы, при заранее известной вероятности успеха или неудачи. Содержание 1 Определение 2 Свойства 2.1 Предельное свойство 2.2 Моменты распределения Бернулли 3 Замечание 4 См. также 5 Литература Определение Случайная величина ${\displaystyle X}$ имеет распределение Бернулли, если она принимает всего два значения: ${\displaystyle 1}$ и ${\displaystyle 0}$ с вероятностями ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q\equiv 1-p}$ соответственно. Таким образом: ${\displaystyle \mathbb {P} (X=1)=p}$, ${\displaystyle \mathbb {P} (X=0)=q}$. Принято говорить, что событие ${\displaystyle \{X=1\}}$ соответствует «успеху», а событие ${\displaystyle \{X=0\}}$ — «неудаче». Эти названия условные, и в зависимости от конкретной задачи могут быть заменены на противоположные. Свойства Предельное свойство Предельное свойство описывается теоремой Пуассона: Пусть есть последовательность серий испытаний Бернулли, где ${\displaystyle p_{n}}$ — вероятность «успеха», ${\displaystyle \mu _{n}}$ — количество «успехов». Тогда если ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }p_{n}=0;}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }np_{n}=\lambda ;}$ ${\displaystyle \lambda >0,}$ то ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }P(\omega :\mu _{n}(\omega )=m)=e^{-\lambda }{\cfrac {\lambda ^{m}}{m!}}.}$ Моменты распределения Бернулли ${\displaystyle \mathbb {E} [X]=p}$, ${\displaystyle \operatorname {D} [X]=p(1-p)=pq}$, так как: ${\displaystyle \operatorname {E} X^{2}-\left(\operatorname {E} X\right)^{2}=p-p^{2}=p\cdot (1-p)=pq}$. Вообще, легко видеть, что ${\displaystyle \mathbb {E} \left[X^{n}\right]=\Pr(X=1)\cdot 1^{n}+\Pr(X=0)\cdot 0^{n}=p\cdot 1^{n}+q\cdot 0^{n}=p=\mathbb {E} [X],\forall n\in \mathbb {N} }$ Замечание Если независимые случайные величины ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$, имеют распределение Бернулли с вероятностью успеха ${\displaystyle p}$, то ${\displaystyle Y=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}}$ имеет биномиальное распределение с ${\displaystyle n}$ степенями свободы. См. также Задача о разорении игрока#Схема Бернулли. Литература Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Binomial distribution", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4