Меню Главная Случайная статья Настройки Полигамма-функция Материал из https://ru.wikipedia.org Полигамма-функция порядка m в математике определяется как (m+1)-я производная натурального логарифма гамма-функции, ${\displaystyle \psi ^{(m)}(z)={\frac {{\rm {d}}^{m}}{{\rm {d}}z^{m}}}\psi (z)={\frac {{\rm {d}}^{m+1}}{{\rm {d}}z^{m+1}}}\ln \Gamma (z)\;,}$ где ${\displaystyle \Gamma (z)}$ — гамма-функция, а ${\displaystyle \psi (z)=\psi ^{(0)}(z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}}$ — дигамма-функция[1], которую также можно определить через сумму следующего ряда: ${\displaystyle \psi (z)=\psi ^{(0)}(z)=-\gamma +\sum \limits _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{k+1}}-{\frac {1}{k+z}}\right)\;,}$ где ${\displaystyle {\textstyle {\gamma }}}$ — постоянная Эйлера—Маскерони. Это представление справедливо для любого комплексного ${\displaystyle z\neq 0,\;-1,\;-2,\;-3,\ldots }$ (в указанных точках функция ${\displaystyle {\textstyle {\psi (z)}}}$ имеет сингулярности первого порядка)[2]. Полигамма-функцию также можно определить через сумму ряда ${\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\;m!\;\sum \limits _{k=0}^{\infty }\displaystyle {\frac {1}{(z+k)^{m+1}}}\;,\qquad m>0\;,}$ который получается из представления для дигамма-функции дифференцированием по z[1]. Это представление также справедливо для любого комплексного ${\displaystyle z\neq 0,\;-1,\;-2,\;-3,\ldots }$ (в указанных точках функция ${\displaystyle {\textstyle {\psi ^{(m)}(z)}}}$ имеет сингулярности порядка (m+1)). Оно может быть записано через дзета-функцию Гурвица[1], ${\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\;m!\;\zeta (m+1,z)\;.}$ В этом смысле дзета-функция Гурвица может быть использована для обобщения полигамма-функции на случай произвольного (нецелого) порядка m. Отметим, что в литературе ${\displaystyle {\textstyle {\psi ^{(m)}(z)}}}$ иногда обозначается как ${\displaystyle {\textstyle {\psi _{m}(z)}}}$ или явным образом указываются штрихи для производных по z. Функция ${\displaystyle {\textstyle {\psi '(z)=\psi ^{(1)}(z)}}}$ называется тригамма-функцией, ${\displaystyle {\textstyle {\psi ''(z)=\psi ^{(2)}(z)}}}$ — тетрагамма-функцией, ${\displaystyle {\textstyle {\psi '''(z)=\psi ^{(3)}(z)}}}$ — пентагамма-функцией, ${\displaystyle {\textstyle {\psi ^{(4)}(z)}}}$ — гексагамма-функцией, и т. д. Содержание 1 Интегральное представление 2 Асимптотические разложения 3 Частные значения 4 Другие формулы 5 См. также 6 Примечания 7 Ссылки Интегральное представление Полигамма-функция может быть представлена как ${\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{m}e^{-zt}}{1-e^{-t}}}{\rm {d}}t}$ Это представление справедливо для Re z >0 и m > 0. При m=0 (для дигамма-функции) интегральное представление может быть записано в виде ${\displaystyle \psi (z)=\psi ^{(0)}(z)=-\gamma +\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t}-e^{-zt}}{1-e^{-t}}}{\rm {d}}t=-\gamma +\int _{0}^{1}{\frac {1-t^{z-1}}{1-t}}{\rm {d}}t\;,}$ где ${\displaystyle {\textstyle {\gamma }}}$ — постоянная Эйлера—Маскерони. Асимптотические разложения При ${\displaystyle z\to \infty \;}$ (${\displaystyle \;|\operatorname {arg} \;{z}|<\pi }$) справедливо следующее разложение с использованием чисел Бернулли: ${\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m-1}\left[{\frac {(m-1)!}{z^{m}}}+{\frac {m!}{2z^{m+1}}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(2k+m-1)!\;B_{2k}}{(2k)!\;z^{2k+m}}}\right]}$ Разложение в ряд Тейлора вблизи аргумента, равного единице, имеет вид ${\displaystyle \psi ^{(m)}(z+1)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{m+k+1}(m+k)!\;\zeta (m+k+1)\;{\frac {z^{k}}{k!}}\;,}$ где обозначает дзета-функцию Римана. Этот ряд сходится при |z| < 1, и он может быть получен из соответствующего ряда для дзета-функции Гурвица. Частные значения Значения полигамма-функции при целых и полуцелых значениях аргумента выражаются через дзета-функцию Римана, ${\displaystyle {\begin{aligned}\psi ^{(m)}(1)&=(-1)^{m+1}m!\,\zeta (m+1),&m>0,\\\psi ^{(m)}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}&=(-1)^{m+1}m!\,(2^{m+1}-1)\,\zeta (m+1),&m>0,\end{aligned}}}$ а для дигамма-функции (при ${\displaystyle m=0}$) — ${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (1)&=\psi ^{(0)}(1)=-\gamma ,\\\psi ({\tfrac {1}{2}})&=\psi ^{(0)}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}=-\gamma -2\ln {2},\end{aligned}}}$ где ${\displaystyle \gamma }$ — постоянная Эйлера–Маскерони[1]. Чтобы получить значения полигамма-функции при других целых (положительных) и полуцелых значениях аргумента, можно использовать рекуррентное соотношение, приведённое ниже. Другие формулы Полигамма-функция удовлетворяет рекуррентному соотношению[1] ${\displaystyle \psi ^{(m)}(z+1)=\psi ^{(m)}(z)+{\frac {(-1)^{m}\;m!}{z^{m+1}}}\;,}$ а также формуле дополнения[1] ${\displaystyle \psi ^{(m)}(1-z)+(-1)^{m+1}\;\psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m}\pi \,{\frac {{\rm {d}}^{m}}{{\rm {d}}z^{m}}}\operatorname {ctg} (\pi z)\;.}$ Для полигамма-функции кратного аргумента существует следующее свойство[1]: ${\displaystyle \psi ^{(m)}(kz)={\frac {1}{k^{m+1}}}\sum _{n=0}^{k-1}\psi ^{(m)}\left(z+{\frac {n}{k}}\right),\qquad m>0}$ а для дигамма-функции (${\displaystyle m=0}$) к правой части надо добавить lnk[1], ${\displaystyle \psi (kz)=\ln {k}+{\frac {1}{k}}\sum _{n=0}^{k-1}\psi \left(z+{\frac {n}{k}}\right).}$ См. также Дигамма-функция Тригамма-функция Примечания 1 2 3 4 5 6 7 8 Eric W. Weisstein. Polygamma Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. Eric W. Weisstein. Digamma Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. Ссылки Milton Abramowitz, Irene A. Stegun. §6.4 Polygamma Functions // Handbook of Mathematical Functions (англ.). — New York: Dover Publications, 1964. — ISBN 0-486-61272-4. Weisstein, Eric W. Polygamma Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.