Меню Главная Случайная статья Настройки Тригамма-функция Материал из https://ru.wikipedia.org Тригамма-функция в математике является второй из полигамма-функций. Она обозначается ${\displaystyle \psi _{1}(z)}$ и определяется как ${\displaystyle \psi _{1}(z)={\frac {{\rm {d}}^{2}}{{\rm {d}}z^{2}}}\ln \Gamma (z)\;,}$ где ${\displaystyle \Gamma (z)}$ — гамма-функция[1]. Из этого определения следует, что ${\displaystyle \psi _{1}(z)={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\psi (z)\;,}$ где ${\displaystyle \psi (z)}$ — дигамма-функция (первая из полигамма-функций)[2]. Тригамма-функцию можно также определить через сумму следующего ряда: ${\displaystyle \psi _{1}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+n)^{2}}},}$ откуда видно, что она является специальным случаем дзета-функции Гурвица (англ. Hurwitz zeta-function)[2], ${\displaystyle \psi _{1}(z)=\zeta (2,z)\;.}$ Эти формулы верны, когда ${\displaystyle z\neq 0,\;-1,\;-2,\;-3,\ldots }$ (в указанных точках функция ${\displaystyle \psi _{1}(z)}$ имеет квадратичные сингулярности, см. график функции). Существуют также другие обозначения для ${\displaystyle \psi _{1}(z)}$, используемые в литературе: ${\displaystyle \psi '(z),\;\;\;\psi ^{(1)}(z)\;.}$ Иногда термин «тригамма-функция» употребляется для функции ${\displaystyle {\displaystyle F'(z)=\psi _{1}(z+1)}}$[1]. Содержание 1 Интегральные представления 2 Другие формулы 3 Частные значения 4 См. также 5 Примечания 6 Ссылки Интегральные представления Используя представление в виде ряда, а также формулу для суммы членов геометрической прогрессии, можно получить следующее двойное интегральное представление: ${\displaystyle \psi _{1}(z)=\int _{0}^{1}\int _{0}^{y}{\frac {x^{z-1}y}{1-x}}\,{\rm {d}}x\,{\rm {d}}y\;.}$ С помощью интегрирования по частям получается следующее однократное представление: ${\displaystyle \psi _{1}(z)=-\int _{0}^{1}{\frac {x^{z-1}\ln {x}}{1-x}}\,{\rm {d}}x\;.}$ Используется также другое представление, которое может быть получено из предыдущего заменой x = e—t: ${\displaystyle \psi _{1}(z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-zt}}{1-e^{-t}}}\,{\rm {d}}t\;.}$ Другие формулы Тригамма-функция удовлетворяет рекуррентному соотношению[2] ${\displaystyle \psi _{1}(z+1)=\psi _{1}(z)-{\frac {1}{z^{2}}}\;,}$ а также формуле дополнения[2] ${\displaystyle \psi _{1}(1-z)+\psi _{1}(z)={\frac {\pi ^{2}}{\sin ^{2}(\pi z)}}\;.}$ Для тригамма-функции кратного аргумента существует следующее свойство[2]: ${\displaystyle \psi _{1}(kz)={\frac {1}{k^{2}}}\sum _{n=0}^{k-1}\psi _{1}\left(z+{\frac {n}{k}}\right)\;.}$ Приведём также асимптотическое разложение с использованием чисел Бернулли: ${\displaystyle \psi _{1}(z+1)={\frac {1}{z}}-{\frac {1}{2z^{2}}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{z^{2k+1}}}\;.}$ Частные значения Ниже приведены частные значения тригамма-функции[1]: ${\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{4}}\right)=\pi ^{2}+8G\;,}$ ${\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{3}}\right)={\tfrac {2}{3}}\pi ^{2}+3{\sqrt {3}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {2}{3}}\pi \right)\;,}$ ${\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{2}}\right)={\tfrac {1}{2}}\pi ^{2}\;,}$ ${\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {2}{3}}\right)={\tfrac {2}{3}}\pi ^{2}-3{\sqrt {3}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {2}{3}}\pi \right)\;,}$ ${\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {3}{4}}\right)=\pi ^{2}-8G\;,}$ ${\displaystyle \psi _{1}(1)\;={\tfrac {1}{6}}\pi ^{2}\;,}$ где G — постоянная Каталана, а ${\displaystyle \mathrm {Cl} _{2}(\theta )}$ — функция Клаузена?!, связанная с мнимой частью дилогарифма через ${\displaystyle \mathrm {Cl} _{2}(\theta )=\mathrm {Im} \left[\mathrm {Li} _{2}\!\left(e^{\mathrm {i} \theta }\right)\right]\;.}$ Используя формулу кратного аргумента и формулу дополнения, a также связь ${\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{8}}\right)}$ с функцией Клаузена[3][4], получаем: ${\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{6}}\right)=2\pi ^{2}+15{\sqrt {3}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {2}{3}}\pi \right)\;,}$ ${\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {5}{6}}\right)=2\pi ^{2}-15{\sqrt {3}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {2}{3}}\pi \right)\;,}$ ${\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{8}}\right)=(2+{\sqrt {2}})\pi ^{2}+4(4-{\sqrt {2}})G+16{\sqrt {2}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {\pi }{4}}\right)\;,}$ ${\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {3}{8}}\right)=(2-{\sqrt {2}})\pi ^{2}-4(4+{\sqrt {2}})G+16{\sqrt {2}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {\pi }{4}}\right)\;,}$ ${\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {5}{8}}\right)=(2-{\sqrt {2}})\pi ^{2}+4(4+{\sqrt {2}})G-16{\sqrt {2}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {\pi }{4}}\right)\;,}$ ${\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {7}{8}}\right)=(2+{\sqrt {2}})\pi ^{2}-4(4-{\sqrt {2}})G-16{\sqrt {2}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {\pi }{4}}\right)\;.}$ Для значений за пределами интервала ${\displaystyle 0<z\leq 1}$ можно использовать рекуррентное соотношение, приведённое выше. Например[1], ${\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {5}{4}}\right)=\pi ^{2}+8G-16\;,}$ ${\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {3}{2}}\right)={\tfrac {1}{2}}\pi ^{2}-4\;,}$ ${\displaystyle \psi _{1}(2)\;={\tfrac {1}{6}}\pi ^{2}-1\;.}$ См. также Гамма-функция Дигамма-функция Полигамма-функция Постоянная Каталана Дзета-функция Гурвица Примечания 1 2 3 4 Eric W. Weisstein. Trigamma Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. 1 2 3 4 5 Eric W. Weisstein. Polygamma Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. C.C. Grosjean, Formulae concerning the computation of the Clausen integral ${\displaystyle \mathrm {Cl} _{2}(\theta )}$, J. Comp. Appl. Math. 11 (1984) 331—342 P.J. de Doelder, On the Clausen integral ${\displaystyle \mathrm {Cl} _{2}(\theta )}$ and a related integral, J. Comp. Appl. Math. 11 (1984) 325—330 Ссылки Milton Abramowitz & Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions[англ.], (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. См. раздел §6.4 Eric W. Weisstein, Trigamma Function, MathWorld — mathworld.wolfram.com Eric W. Weisstein, Polygamma Function, MathWorld — mathworld.wolfram.com