Меню Главная Случайная статья Настройки Многочлены Лежандра Материал из https://ru.wikipedia.org Многочлен Лежандра — многочлен, который в наименьшей степени отклоняется от нуля в смысле среднего квадратического. Образует ортогональную систему многочленов на отрезке ${\displaystyle [-1,\;1]}$ в пространстве ${\displaystyle L^{2}}$. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов ${\displaystyle \{1,\;x,\;x^{2},\;x^{3},\;\ldots \}}$ ортогонализацией Грама Шмидта. Названы по имени французского математика Адриен Мари Лежандра. Содержание 1 Определение 1.1 Полиномы Лежандра и присоединённые функции Лежандра первого и второго рода 1.2 Выражение через суммы 1.3 Рекуррентная формула 1.4 Производная полинома Лежандра 1.5 Корни полинома Лежандра 1.6 Формулы с разложениями 1.7 Присоединённые многочлены Лежандра 1.7.1 Нормировка по правилу Шмидта 1.8 Сдвинутые многочлены Лежандра 2 Матрица функции многочлена Лежандра 3 Примеры 4 Свойства 5 Ряды многочленов Лежандра 5.1 Разложение липшицевой функции в ряд многочленов Лежандра 5.2 Разложение голоморфной функции 5.3 Теорема сложения 6 Функции Лежандра 7 Примечания 8 Литература 9 Ссылки Определение Полиномы Лежандра и присоединённые функции Лежандра первого и второго рода Рассмотрим дифференциальное уравнение вида ${\displaystyle (1-z^{2}){\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} z^{2}}}-2z{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} z}}+n(n+1)u=0,}$ (1) где ${\displaystyle z}$ — комплексная переменная. Решения этого уравнения при целых ${\displaystyle n}$ имеют вид многочленов, называемых многочленами Лежандра. Полином Лежандра степени ${\displaystyle n}$ можно представить через формулу Родрига в виде[1] ${\displaystyle P_{n}(z)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}(z^{2}-1)^{n}.}$ Часто вместо ${\displaystyle z}$ записывают косинус полярного угла: ${\displaystyle P_{n}(\cos \theta )={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{d(\cos \theta )^{n}}}(\cos ^{2}\theta -1)^{n}.}$ Уравнение (1) можно получить из частного случая гипергеометрического уравнения, называемого уравнением Лежандра ${\displaystyle (1-z^{2}){\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} z^{2}}}-2z{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} z}}+\left[\nu (\nu +1)-{\frac {\mu ^{2}}{1-z^{2}}}\right]u=0,}$ (2) где ${\displaystyle \mu }$, ${\displaystyle \nu }$ — произвольные комплексные постоянные. Интерес представляют его решения, являющиеся однозначными и регулярными при ${\displaystyle |z|<1}$ (в частности, при действительных ${\displaystyle z}$) или когда действительная часть числа ${\displaystyle z}$ больше единицы. Его решения называют присоединёнными функциями Лежандра или сферическими функциями (гармониками). Подстановка вида ${\displaystyle w=(z^{2}-1)^{\mu /2}}$ в (2) даёт уравнение Гаусса, решение которого в области ${\displaystyle |1-z|<2}$ принимает вид ${\displaystyle w=P_{\nu }^{\mu }(z)={\frac {1}{\Gamma (1-\mu )}}\left({\frac {z+1}{z-1}}\right)^{\mu /2}F\left(-\nu ,\;\nu +1;\;1-\mu ;\;{\frac {1}{2}}-{\frac {z}{2}}\right),}$ где ${\displaystyle F}$ — гипергеометрическая функция. Подстановка ${\displaystyle w=z^{2}}$ в (2) приводит к решению вида ${\displaystyle w=Q_{\nu }^{\mu }(z)=e^{\mu i\pi }2^{-\nu -1}{\sqrt {\pi }}{\frac {\Gamma (\nu +\mu +1)}{\Gamma (\nu +3/2)}}z^{-\nu -\mu -1}(z^{2}-1)^{\mu /2}F\left({\frac {\nu }{2}}+{\frac {\mu }{2}}+1,\;{\frac {\nu }{2}}+{\frac {\mu }{2}}+{\frac {1}{2}};\;\nu +{\frac {3}{2}};\;z^{-2}\right),}$ определённым на ${\displaystyle |z|>1}$. Функции ${\displaystyle P_{\nu }^{\mu }(z)}$ и ${\displaystyle Q_{\nu }^{\mu }(z)}$ называют функциями Лежандра первого и второго рода.[2] Справедливы соотношения[3] ${\displaystyle P_{\nu }^{\mu }(z)=P_{-\nu -1}^{\mu }(z)}$ и ${\displaystyle Q_{\nu }^{\mu }(z)\sin \pi (\nu +\mu )-Q_{-\nu -1}^{\mu }(z)\sin \pi (\nu -\mu )=\pi e^{i\mu \pi }\cos(\nu \pi )P_{\nu }^{\mu }(z).}$ Выражение через суммы Многочлены Лежандра также определяются по следующей формуле: ${\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{E(n/2)}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}{\binom {2n-2k}{n}}x^{n-2k}.}$ Рекуррентная формула Они также могут быть вычислены по рекуррентной формуле (при ${\displaystyle n\geqslant 1}$)[4]: ${\displaystyle P_{n+1}(x)={\frac {2n+1}{n+1}}xP_{n}(x)-{\frac {n}{n+1}}P_{n-1}(x),}$ (3) причём первые две функции имеют вид ${\displaystyle P_{0}(x)=1,}$ ${\displaystyle P_{1}(x)=x.}$ Производная полинома Лежандра Вычисляется по формуле[5] ${\displaystyle P'_{n}(x)={\frac {n}{1-x^{2}}}[P_{n-1}(x)-xP_{n}(x)].}$ (4) Корни полинома Лежандра Вычисляются итеративно по методу Ньютона[5]: ${\displaystyle x_{i}^{(k+1)}=x_{i}^{(k)}-{\frac {P_{n}(x_{i}^{(k)})}{P'_{n}(x_{i}^{(k)})}},}$ причём начальное приближение для ${\displaystyle i}$-го корня (${\displaystyle i=1,\;2,\;\ldots ,\;n}$) берётся по формуле[5] ${\displaystyle x_{i}^{(0)}=\cos {\frac {\pi (4i-1)}{4n+2}}.}$ Значение полинома можно вычислять, используя рекуррентную формулу для конкретного значения x. Производную также можно вычислять для конкретного значения x, используя формулу для производной. Формулы с разложениями Многочлены Лежандра также определяются следующими разложениями: ${\displaystyle (1-2tx+t^{2})^{-{\frac {1}{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x)t^{n}}$ для ${\displaystyle |t|<\min \left|x\pm {\sqrt {x^{2}-1}}\right|,}$ ${\displaystyle (1-2tx+t^{2})^{-{\frac {1}{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x){\frac {1}{t^{n+1}}}}$ для ${\displaystyle |t|>\max \left|x\pm {\sqrt {x^{2}-1}}\right|.}$ Следовательно, ${\displaystyle P_{n}(x)={\frac {(2n)!}{2^{n}(n!)^{2}}}\left[x^{n}-{\frac {n(n-1)}{2(2n-1)}}x^{n-2}+{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{2\cdot 4(2n-1)(2n-3)}}x^{n-4}-\ldots \right].}$ Присоединённые многочлены Лежандра Присоединённые многочлены Лежандра определяются по формуле ${\displaystyle P_{n}^{m}(x)=(1-x^{2})^{m/2}{\frac {d^{m}}{dx^{m}}}P_{n}(x),}$ которую также можно представить в виде ${\displaystyle P_{n}^{m}(\cos \theta )=\sin ^{m}\theta {\frac {d^{m}}{d(\cos \theta )^{m}}}P_{n}(\cos \theta ).}$ При ${\displaystyle m=0}$ функция ${\displaystyle P_{n}^{m}}$ совпадает с ${\displaystyle P_{n}}$. Нормированные по правилу Шмидта полиномы Лежандра выглядят следующим образом[6]: ${\displaystyle SP_{n}^{0}(x)=P_{n}^{0}(x),}$ ${\displaystyle SP_{n}^{m}(x)=(-1)^{m}\left({\frac {2(n-m)!}{(n+m)!}}\right)^{1/2}P_{n}^{m}(x).}$ Сдвинутые многочлены Лежандра Сдвинутые многочлены Лежандра определяются как ${\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)=P_{n}(2x-1)}$, где сдвигающая функция ${\displaystyle x\mapsto 2x-1}$ (это аффинное преобразование) выбрана так, чтобы однозначно отображать интервал ортогональности многочленов ${\displaystyle [-1,\;1]}$ на интервал ${\displaystyle [0,\;1]}$, в котором уже ортогональны сдвинутые многочлены ${\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)}$: ${\displaystyle \int \nolimits _{0}^{1}{\tilde {P_{m}}}(x){\tilde {P_{n}}}(x)\,dx={\frac {1}{2n+1}}\delta _{mn}.}$ Явное выражение для смещённых многочленов Лежандра задаётся как ${\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)=(-1)^{n}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\binom {n+k}{k}}(-x)^{k}.}$ Аналогом формулы Родрига для смещенных многочленов Лежандра является ${\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)={\frac {1}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[(x^{2}-x)^{n}\right].}$ Выражения для некоторых первых сдвинутых многочленов Лежандра: n ${\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)}$ 0 ${\displaystyle 1}$ 1 ${\displaystyle 2x-1}$ 2 ${\displaystyle 6x^{2}-6x+1}$ 3 ${\displaystyle 20x^{3}-30x^{2}+12x-1}$ 4 ${\displaystyle 70x^{4}-140x^{3}+90x^{2}-20x+1}$ Матрица функции многочлена Лежандра