Меню Главная Случайная статья Настройки Почти комплексное многообразие Материал из https://ru.wikipedia.org Почти комплексное многообразие — это гладкое многообразие, снабжённое гладкой линейной комплексной структурой на каждом касательном пространстве. Каждое комплексное многообразие является почти комплексным многообразием, но существуют почти комплексные многообразия, которые не являются комплексными. Почти комплексные структуры имеют важные приложения в симплектической геометрии . Эта концепция была предложена Чарльзом Эресманном и Хайнцем Хопфом в 1940-х годах[1]. Содержание 1 Формальное определение 2 Примеры 3 Дифференциальная топология почти комплексных многообразий 4 Интегрируемые почти комплексные структуры 5 Совместимые тройки 6 Обобщенная почти сложная структура 7 См. также 8 Ссылки Формальное определение Пусть M — гладкое многообразие. Почти комплексная структура J на M — это линейная комплексная структура (то есть линейное отображение, квадрат которого равен 1) на каждом касательном пространстве многообразия, гладко меняющееся на многообразии. Другими словами, мы имеем гладкое тензорное поле J степени (1, 1) такое, что ${\displaystyle J^{2}=-1}$ если рассматривать его как изоморфизм векторного расслоения ${\displaystyle J\colon TM\to TM}$ на касательном расслоении. Многообразие, снабженное почти комплексной структурой, называется почти комплексным многообразием. Если M допускает почти комплексную структуру, оно должно быть чётномерным. Это можно увидеть следующим образом. Предположим, что M n -мерно, и пусть J : TM TM — почти комплексная структура. Если J2=-1, то (det J)2 = (1)n . Но если M — вещественное многообразие, то det J — вещественное число, поэтому n должно быть чётным, если M имеет почти комплексную структуру. Можно показать, что оно также должно быть ориентируемым. Простое упражнение по линейной алгебре показывает, что любое чётномерное векторное пространство допускает линейную комплексную структуру. Следовательно, чётномерное многообразие всегда допускает тензор (1, 1) -ранга поточечно (что является просто линейным преобразованием на каждом касательном пространстве) такой, что Jp2 = 1 в каждой точке p. Только когда этот локальный тензор может быть склеен вместе для определения глобально, точечная линейная комплексная структура дает почти комплексную структуру, которая затем определяется однозначно. Возможность этого склеивания, а следовательно, и существование почти комплексной структуры на многообразии M эквивалентны редукции структурной группы касательного расслоения с GL(2n, R) до GL(n, C) . Вопрос существования тогда является чисто алгебраическим топологическим и довольно хорошо изучен. Примеры Для каждого целого числа n плоское пространство R2n допускает почти комплексную структуру. Примером такой почти комплексной структуры является случай (1 j, k 2n ) : ${\displaystyle J_{jk}=-i\delta _{j,k-1}}$ для нечетных j, ${\displaystyle J_{jk}=i\delta _{j,k+1}}$ для четного j. Единственные сферы, которые допускают почти комплексные структуры, — это S2 и S6 (Borel & Serre (1953)). В частности, S4 не может быть задана почти комплексная структура (Эресман и Хопф). В случае S2 почти комплексная структура получается из честной комплексной структуры на сфере Римана. 6-сфера, S6, рассматриваемая как множество мнимых октонионов с единичной нормой, наследует почти комплексную структуру от умножения октонионов; вопрос о том, имеет ли она сложную структуру, известен как проблема Хопфа, в честь Хайнца Хопфа[2]. Дифференциальная топология почти комплексных многообразий Подобно тому, как комплексная структура на векторном пространстве V допускает разложение VC на V+ и V (собственные подпространства J, соответствующие +i и i соответственно), так и почти комплексная структура на M допускает разложение комплексифицированного касательного расслоения TMC (которое является векторным расслоением комплексифицированных касательных пространств в каждой точке) на TM+ и TM . Сечение TM+ называется векторным полем типа (1, 0), тогда как сечение TM является векторным полем типа (0, 1). Таким образом, J соответствует умножению на i на (1, 0)-векторные поля комплексифицированного касательного расслоения и умножение на i на (0, 1)-векторные поля. Подобно тому, как мы строим дифференциальные формы из внешних степеней кокасательного расслоения, мы можем строить внешние степени комплексифицированного кокасательного расслоения (которое канонически изоморфно расслоению двойственных пространств комплексифицированного касательного расслоения). Почти комплексная структура индуцирует разложение каждого пространства r -форм. ${\displaystyle \Omega ^{r}(M)^{\mathbf {C} }=\bigoplus _{p+q=r}\Omega ^{(p,q)}(M).\,}$ Другими словами, каждое r(M)C допускает разложение в сумму (p , q)(M), с r = п + в . Как и в случае любой прямой суммы, существует каноническая проекция p, q из r(M)C в (p, q) . Также существует внешняя производная d, которая отображает r(M)C в r +1(M)C. Таким образом, мы можем использовать почти комплексную структуру для уточнения действия внешней производной до форм определённого типа. ${\displaystyle \partial =\pi _{p+1,q}\circ d}$ ${\displaystyle {\overline {\partial }}=\pi _{p,q+1}\circ d}$ так что ${\displaystyle \partial }$ — это отображение, которое увеличивает голоморфную часть типа на единицу (принимает формы типа (p , q) к формам типа (p +1, q)), и ${\displaystyle {\overline {\partial }}}$ — это отображение, увеличивающее антиголоморфную часть типа на единицу. Эти операторы называются операторами Дольбо . Поскольку сумма всех проекций должна быть тождественным отображением, мы замечаем, что внешняя производная может быть записана ${\displaystyle d=\sum _{r+s=p+q+1}\pi _{r,s}\circ d=\partial +{\overline {\partial }}+\cdots .}$ Интегрируемые почти комплексные структуры Каждое комплексное многообразие само по себе является почти комплексным многообразием. В локальных голоморфных координатах ${\displaystyle z^{\mu }=x^{\mu }+iy^{\mu }}$ можно определить отображения ${\displaystyle J{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}={\frac {\partial }{\partial y^{\mu }}}\qquad J{\frac {\partial }{\partial y^{\mu }}}=-{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}}$ (точно так же, как поворот против часовой стрелки на /2) или ${\displaystyle J{\frac {\partial }{\partial z^{\mu }}}=i{\frac {\partial }{\partial z^{\mu }}}\qquad J{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}^{\mu }}}=-i{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}^{\mu }}}.}$ Нетрудно проверить, что это отображение задаёт почти комплексную структуру. Таким образом, любая комплексная структура на многообразии порождает почти комплексную структуру, которую называют «индуцированной» комплексной структурой, а саму комплексную структуру называют «согласованной с» почти комплексной структурой. Обратный вопрос о том, влечёт ли почти комплексная структура существование комплексной структуры, является значительно менее тривиальным и, вообще говоря, неверен. На произвольном почти комплексном многообразии всегда можно найти координаты, для которых почти комплексная структура принимает указанную выше каноническую форму в любой заданной точке p . Однако в общем случае невозможно найти координаты, в которых J принимает каноническую форму во всей окрестности точки p . Такие координаты, если они существуют, называются «локальными голоморфными координатами для J». Если на M существуют локальные голоморфные координаты для J вокруг каждой точки, то они объединяются, чтобы сформировать голоморфный атлас для M, придавая ему комплексную структуру, которая, более того, индуцирует J. Тогда J называется «интегрируемым». Если J индуцируется комплексной структурой, то он индуцируется единственной комплексной структурой. Дано любое линейное отображение A на каждом касательном пространстве M ; то есть A является тензорным полем ранга (1, 1), то тензор Нийенхейса представляет собой тензорное поле ранга (1,2), заданное формулой ${\displaystyle N_{A}(X,Y)=-A^{2}[X,Y]+A([AX,Y]+[X,AY])-[AX,AY].\,}$ или, для обычного случая почти сложной структуры A=J такой, что ${\displaystyle J^{2}=-Id}$ , ${\displaystyle N_{J}(X,Y)=[X,Y]+J([JX,Y]+[X,JY])-[JX,JY].\,}$ Отдельные выражения справа зависят от выбора гладких векторных полей X и Y, но левая часть фактически зависит только от точечных значений X и Y, поэтому N A является тензором. Это также ясно из формулы для компонент ${\displaystyle -(N_{A})_{ij}^{k}=A_{i}^{m}\partial _{m}A_{j}^{k}-A_{j}^{m}\partial _{m}A_{i}^{k}-A_{m}^{k}(\partial _{i}A_{j}^{m}-\partial _{j}A_{i}^{m}).}$ В терминах скобки Фрёлихера-Нийенхейса, которая обобщает скобку Ли векторных полей, тензор Нийенхейса NA составляет всего лишь половину [A , А]. Теорема Ньюлендера-Ниренберга утверждает, что почти комплексная структура J интегрируема тогда и только тогда, когда NJ = 0. Согласованная комплексная структура является единственной, как было упомянуто выше. Поскольку существование интегрируемой почти комплексной структуры эквивалентно существованию комплексной структуры, это условие иногда принимают за определение комплексной структуры. Существует несколько других критериев, эквивалентных обращению в нуль тензора Нейенхейса, которые, следовательно, предоставляют методы проверки интегрируемости почти комплексной структуры (и фактически каждый из них можно найти в научной литературе): Скобка Ли любых двух (1, 0)-векторные поля снова имеют тип (1, 0) ${\displaystyle d=\partial +{\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}^{2}=0.}$ Любое из этих условий подразумевает существование уникальной совместимой комплексной структуры. Существование почти комплексной структуры является топологическим вопросом, и на него относительно легко ответить, как обсуждалось выше. Существование интегрируемой почти комплексной структуры, с другой стороны, является гораздо более сложным аналитическим вопросом. Например, до сих пор неизвестно, допускает ли S 6 интегрируемую почти комплексную структуру, несмотря на долгую историю в конечном итоге неподтверждённых утверждений. Вопросы гладкости важны. Для вещественно-аналитического J теорема Ньюлендера-Ниренберга следует из теоремы Фробениуса; для C (и менее гладкого) J требуется анализ (с более сложными методами по мере ослабления гипотезы регулярности). Совместимые тройки Предположим, что M снабжено симплектической формой , римановой метрикой g и почти комплексной структурой J. Поскольку и g невырождены, каждый из них индуцирует изоморфизм расслоений TM T*M, где первое отображение, обозначаемое , задаётся внутренним произведением (u) = iu = (u, •), а другая, обозначенная g, задаётся аналогичной операцией для g. С учётом этого, три структуры (g, , J) образуют совместимую тройку, когда каждая структура может быть задана двумя другими следующим образом: g (u, v) = (u, Jv) (u, v) = g (Ju, v) J (ты) знак равно ( г) 1 ( (ты)). Для каждого из этих уравнений две структуры в правой части называются согласованными, когда соответствующая конструкция порождает структуру указанного типа. Например, и J согласованы тогда и только тогда, когда (•, J •) является римановой метрикой. Расслоение на M, сечениями которого служат почти комплексные структуры, согласованные с , имеет стягиваемые слои: это комплексные структуры на касательных пространствах, согласованные с ограничением симплектических форм. Используя элементарные свойства симплектической формы , можно показать, что совместимая почти комплексная структура J является почти кэлеровой структурой для римановой метрики (u, Jv). Кроме того, если J интегрируема, то (M, , J) является кэлеровым многообразием . Эти тройки связаны со свойством 2 из 3 унитарной группы . Обобщенная почти сложная структура Найджел Хитчин ввёл понятие обобщённой почти комплексной структуры на многообразии M, которое было разработано в докторских диссертациях его учеников Марко Гальтиери и Джила Кавальканти . Обычная почти комплексная структура — это выбор полумерного подпространства каждого слоя комплексифицированного касательного расслоения TM . Обобщённая почти комплексная структура — это выбор полумерного изотропного подпространства каждого слоя прямой суммы комплексифицированных касательного и кокасательного расслоений . В обоих случаях требуется, чтобы прямая сумма подрасслоения и его комплексно сопряжённого расслоения давала исходное расслоение. Почти комплексная структура интегрируется в комплексную структуру, если полумерное подпространство замкнуто относительно скобки Ли. Обобщённая почти комплексная структура интегрируется в обобщённую комплексную структуру, если подпространство замкнуто относительно скобки Куранта . Если, кроме того, это полумерное пространство является аннулятором нигде не исчезающего чистого спинора, то M является обобщённым многообразием Калаби-Яу. См. также Almost quaternionic manifold Chern class Frlicher–Nijenhuis bracket Khler manifold Poisson manifold Rizza manifold Symplectic manifold Ссылки On the Chern numbers of certain complex and almost complex manifolds. Proceedings of the National Academy of Sciences. 55 (6): 1624–1627. Июнь 1966. Bibcode:1966PNAS...55.1624V. doi:10.1073/pnas.55.6.1624. PMC 224368. PMID 16578639. Cannas da Silva, Ana. Lectures on Symplectic Geometry. — Springer, 2001. — ISBN 3-540-42195-5. Information on compatible triples, Khler and Hermitian manifolds, etc. Wells, Raymond O. Differential Analysis on Complex Manifolds. — New York : Springer-Verlag, 1980. — ISBN 0-387-90419-0. Short section which introduces standard basic material. Rubei, Elena. Algebraic Geometry, a concise dictionary. — Berlin/Boston : Walter De Gruyter, 2014. — ISBN 978-3-11-031622-3.