Ru.Wikipedia.Org - Правильный 65537-угольник

Меню
Главная
Случайная статья
Настройки

Правильный 65537-угольник
Материал из https://ru.wikipedia.org

Правильный 65537-угольник
Правильный 65537-угольник визуально неотличим от окружности (при разрешении в 1000 пикселей отличие от окружности будет меньше одной миллионной пикселя).

Правильный 65537-угольник (шестьдесятпятьтысячпятисоттридцатисемиугольник^[1]) — правильный многоугольник с 65 537 углами и 65 537 сторонами. Из-за того, что центральный угол мал, в графическом представлении правильный 65537-угольник почти не отличается от окружности (см. иллюстрацию).

Правильный 65537-угольник представляет интерес, поскольку 65 537 является простым числом Ферма, что делает возможным построение данного многоугольника с помощью циркуля и линейки. Эта задача была решена Иоганном Густавом Гермесом в 1894 году.

Содержание

Построение

Отличительная особенность правильного 65537-угольника — это тот факт, что его возможно построить, используя только циркуль и линейку.

Число 65 537 — это самое большое известное простое число Ферма:

65~537=2^{2^{4}}+1

Гаусс в 1796 году доказал, что правильный n-угольник можно построить циркулем и линейкой, если нечётные простые делители числа n являются различными числами Ферма. В 1836 году П. Ванцель доказал необходимость этого условия для построения таких многоугольников. Ныне это утверждение известно как теорема Гаусса — Ванцеля.

В 1894 году Иоганн Густав Гермес после более чем десятилетних исследований нашёл способ построения правильного 65537-угольника и описал его в рукописи размером более 200 страниц^[2] (оригинал рукописи хранится в библиотеке Гёттингенского университета).

Один слишком навязчивый аспирант довёл своего руководителя до того, что тот сказал ему: «Идите и разработайте построение правильного многоугольника с 65 537 сторонами». Аспирант удалился, чтобы вернуться через 20 лет с соответствующим построением^[3].Дж. Литлвуд

Пропорции

Углы

Центральный угол равен

{\frac {360^{\circ }}{65~537}}\approx 0{,}0054930802447472424^{\circ }\approx 0^{\circ }0'19{,}77508888''

.

Внутренний угол равен

{\frac {65~537-2}{65~537}}\cdot 180^{\circ }\approx 179{,}99450691975525^{\circ }=180^{\circ }-0{,}0054930802447472424^{\circ }

.

Наглядное представление

Для иллюстрации пропорций практически непредставимой фигуры могут служить следующие соображения:

Отклонение центрального угла от 0°, а также отклонение внутреннего угла от 180° составляет всего лишь примерно 0,005°. Если приподнять за один конец лежащую на земле жердь длиной 104,3 м только на 1 см, то она образует с землёй примерно этот угол.

Рассмотрим треугольник, одной стороной которого является указанная жердь, второй стороной — перпендикуляр, опущенный от приподнятого конца жерди на поверхность, где она лежала, а третьей стороной — отрезок от основания перпендикуляра до покоящегося конца жерди. Считая, что жердь подняли на один сантиметр, найдём, какой длины

L

она должна быть, чтобы образовать с поверхностью угол

\alpha

, равный центральному углу правильного 65537-угольника: его синус будет равен отношению высоты, на которую подняли один край жерди, к углу, который жердь образовала с поверхностью.

L={\frac {1~{\text{cm}}}{\sin \left({\frac {360^{\circ }}{65~537}}\right)}}\approx 10430{,}541475816439~{\text{cm}}\approx 104{,}30541475816439~{\text{m}}

Если нарисовать 65537-угольник с длиной одной стороны 1 см, то его наибольшая диагональ будет больше 200 м.
Если нарисовать 65537-угольник с длиной одной стороны 1 м, то радиусы его вписанной и описанной окружностей будут около 10 км, а разница между ними составит всего лишь около 0,024 мм.
Если нарисовать 65537-угольник диаметром 20 см, то длина одной его стороны окажется менее одной десятой толщины самого тонкого человеческого волоса.

Примечания

«В сложных словах, начинающихся составным числительным свыше 1000, название первого числа в составе сложного слова остаётся неизменным, а все остальные названия чисел ставятся в род. п. в соответствии с правилами согласования: пятьтысячдевятисотдолларовый чек, четыретысячидевятисотдолларовый, дветысячивосьмисотдолларовый и т. д.» (Граудина Л. К., Ицкович В. А., Катлинская Л. П. Грамматическая правильность русской речи. Опыт частотно-стилистического словаря вариантов / Под ред. С. Г. Бархударова, И. Ф. Протченко, Л. И. Скворцова. — М.: Наука, 1976. — С. 269. — 456 с. Архивировано 3 июля 2019 года.).
Johann Gustav Hermes. ber die Teilung des Kreises in 65 537 gleiche Teile (нем.) // Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Gttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse : magazin. — Gttingen, 1894. — Bd. 3. — S. 170—186.

Ссылки

Weisstein, Eric W. 65537-угольник (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.