Меню Главная Случайная статья Настройки Преобразование Меллина Материал из https://ru.wikipedia.org Преобразование Меллина — преобразование, которое можно рассматривать как мультипликативную версию двустороннего преобразования Лапласа. Это интегральное преобразование тесно связано с теорией рядов Дирихле и часто используется в теории чисел и в теории асимптотических разложений. Преобразование Меллина тесно связано с преобразованием Лапласа и преобразованием Фурье, а также теорией гамма-функций и теорией смежных специальных функций. Преобразование названо по имени исследовавшего его финского математика Ялмара Меллина. Содержание 1 Определение 2 Связь с другими преобразованиями 3 Примеры 3.1 Интеграл Каэна — Меллина 4 Преобразование Меллина для лебегова пространства 5 Связь с теорией вероятностей 6 Применение 7 Примечания 8 Литература 9 Ссылки Определение Прямое преобразование Меллина задаётся формулой: ${\displaystyle \left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\varphi (s)=\int \limits _{0}^{\infty }x^{s-1}f(x)dx}$. Обратное преобразование — формулой: ${\displaystyle \left\{{\mathcal {M}}^{-1}\varphi \right\}(x)=f(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{c-i\infty }^{c+i\infty }x^{-s}\varphi (s)\,ds}$. Предполагается, что интегрирование происходит в комплексной плоскости. Условия, при которых можно делать преобразование, совпадают с условиями теоремы обратного преобразования Меллина[англ.]. Связь с другими преобразованиями Двусторонний интеграл Лапласа может быть выражен через преобразование Меллина: ${\displaystyle \left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(s)}$. И наоборот: преобразование Меллина выражается через преобразование Лапласа формулой: ${\displaystyle \left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s).}$ Преобразование Фурье может быть выражено через преобразование Меллина формулой: ${\displaystyle \left\{{\mathcal {F}}f\right\}(-s)=\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(-is)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(-is)}$. Обратно: ${\displaystyle \left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s)=\left\{{\mathcal {F}}f(e^{-x})\right\}(is)}$. Преобразование Меллина также связывает интерполяционные формулы Ньютона или биномиальные преобразования с производящей функцией последовательности с помощью цикла Пуассона — Меллина — Ньютона. Примеры Интеграл Каэна — Меллина Если: ${\displaystyle c>0,}$ ${\displaystyle \Re (y)>0,}$ ${\displaystyle y^{-s}}$ на главной ветви[англ.], то[1] ${\displaystyle e^{-y}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{c-i\infty }^{c+i\infty }\Gamma (s)y^{-s}\;ds}$, где ${\displaystyle \Gamma (s)}$ — гамма-функция. Назван по именам Ялмара Меллина и французского математика Эжена Каэна (фр. Eugne Cahen). Преобразование Меллина для лебегова пространства В гильбертовом пространстве преобразование Меллина задаётся несколько иначе. Для лебегова пространства ${\displaystyle L^{2}(0,\infty )}$ любая фундаментальная полоса включает в себя ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+i\mathbb {R} }$. В связи с этим возможно задать линейный оператор ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}}$ как: ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}\colon L^{2}(0,\infty )\to L^{2}(-\infty ,\infty ),\{{\tilde {\mathcal {M}}}f\}(s):={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{0}^{\infty }x^{-{\frac {1}{2}}+is}f(x)\,dx}$. То есть: ${\displaystyle \{{\tilde {\mathcal {M}}}f\}(s):={\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}\{{\mathcal {M}}f\}({\tfrac {1}{2}}-is)}$. Обычно этот оператор обозначается ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ и называется преобразованием Меллина, но здесь и в дальнейшем мы будем использовать обозначение ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}}$. теоремы обратного преобразования Меллина[англ.] показывает, что ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}^{-1}\colon L^{2}(-\infty ,\infty )\to L^{2}(0,\infty ),\{{\tilde {\mathcal {M}}}^{-1}\varphi \}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }x^{-{\frac {1}{2}}-is}\varphi (s)\,ds.}$ Кроме того, этот оператор изометричен, то есть ${\displaystyle \|{\tilde {\mathcal {M}}}f\|_{L^{2}(-\infty ,\infty )}=\|f\|_{L^{2}(0,\infty )}}$ для ${\displaystyle \forall f\in L^{2}(0,\infty )}$. Это объясняет коэффициент ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}}$ Связь с теорией вероятностей В теории вероятностей преобразование Меллина является важным инструментом для изучения распределения случайных величин[2]. Если: ${\displaystyle D=\{s:a\leqslant \Re (s)\leqslant b\},}$ ${\displaystyle a\leqslant 0\leqslant b,}$ ${\displaystyle X}$ — случайная величина, ${\displaystyle X^{+}=\max\{X,0\},}$ ${\displaystyle X^{-}=\max\{-X,0\},}$ то преобразование Меллина определяется как: ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}(s)=\int \limits _{0}^{\infty }x^{s}dF_{X^{+}}(x)+i\int \limits _{0}^{\infty }x^{s}dF_{X^{-}}(x),}$ где ${\displaystyle i}$ — мнимая единица. Преобразование Меллина ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}(it)}$ случайной величины ${\displaystyle X}$ однозначно определяет её функцию распределения ${\displaystyle F_{x}}$. Применение Преобразование Меллина особенно важно для информационных технологий, особенно для распознавания образов. Примечания Hardy, G. H.; Littlewood, J. E. Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes (англ.) // Acta Mathematica : journal. — 1916. — Vol. 41, no. 1. — P. 119—196. — doi:10.1007/BF02422942. (See notes therein for further references to Cahen’s and Mellin’s work, including Cahen’s thesis.) Galambos, Simonelli, 2004, стр. 15 Литература Galambos, Janos; Simonelli, Italo. Products of random variables: applications to problems of physics and to arithmetical functions (англ.). — Marcel Dekker, Inc.[англ.], 2004. — ISBN 0-8247-5402-6. Flajolet, P.; Gourdon, X.; Dumas, P. Mellin transforms and asymptotics: Harmonic sums (англ.) // Theoretical Computer Science[англ.]. — 1995. — Vol. 144, no. 1—2. — P. 3—58. Tables of Integral Transforms Архивная копия от 30 июня 2007 на Wayback Machine at EqWorld: The World of Mathematical Equations. Weisstein, Eric W. Mellin Transform (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. Ссылки Philippe Flajolet, Xavier Gourdon, Philippe Dumas, Mellin Transforms and Asymptotics: Harmonic sums. Архивная копия от 24 мая 2006 на Wayback Machine Antonio Gonzles, Marko Riedel Celebrando un clsico Архивная копия от 3 ноября 2012 на Wayback Machine, newsgroup es.ciencia.matematicas Juan Sacerdoti, Funciones Eulerianas Архивная копия от 29 января 2007 на Wayback Machine (in Spanish). Mellin Transform Methods Архивная копия от 11 апреля 2013 на Wayback Machine, Digital Library of Mathematical Functions, 2011-08-29, National Institute of Standards and Technology Antonio De Sena and Davide Rocchesso, A Fast Mellin Transform With Applications in DAFX Архивная копия от 14 сентября 2014 на Wayback Machine