Меню Главная Случайная статья Настройки Преобразование Мёбиуса Материал из https://ru.wikipedia.org Преобразование Мёбиуса — преобразование одноточечной компактификации евклидова пространства ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}^{n}=\mathbb {R} ^{n}\cup \{\infty \}}$, представляющее собой композицию конечного числа инверсий относительно гиперсфер и отражений относительно гиперплоскостей[1][2]. На комплексной плоскости преобразования Мёбиуса суть простейшие конформные преобразования, а в расширенных вещественных пространствах размерностей больше двух все конформные отображения мёбиусовы по теореме Лиувилля[1]. Общая мёбиусова группа ${\displaystyle GM({\widehat {\mathbb {R} }})^{n}}$ — конечномерная группа всех преобразования Мёбиуса пространства ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}^{n}}$[1].[2] Мёбиусова группа ${\displaystyle M({\widehat {\mathbb {R} }})^{n}}$ — подгруппа общей мёбиусовой группы ${\displaystyle GM({\widehat {\mathbb {R} }})^{n}}$ всех преобразования Мёбиуса, сохраняющих ориентацию пространства ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}^{n}}$, причём эта подгруппа изоморфна специальной ортогональной группе ${\displaystyle SO(n+1,1)}$[1][3]. В англоязычной литературе термин «преобразование Мёбиуса» часто определяют только для частного случая преобразования Мёбиуса на расширенной комплексной плоскости, считающегося классическим, для которого в русскоязычной литературе используют термин дробно-линейное преобразование[4]. В классическом двумерном случае ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ преобразование Мёбиуса, оно же круговое преобразование, определяется как отображающее окружность на окружность. Здесь возможны два случая[5]: преобразование Мёбиуса как точечное преобразование — преобразование одноточечной компактификации евклидова пространства ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}^{2}=\mathbb {R} ^{2}\cup \{\infty \}}$, отображающее окружность или прямую в окружность или прямую. Имеет место точечная аналлагматическая геометрия; преобразование Мёбиуса как неточечное преобразование — касательное преобразование, основной элемент которого не точка, а линейный элемент (прямая и точка — частный случай окружности). Имеет место круговая аналлагматическая геометрия. Для случая ${\displaystyle n=1}$ одноточечная компактификация прямой представляет собой проективно расширенную числовую прямую. На ней преобразования Мёбиуса могут быть определены аналогично комплексному случаю с помощью дробно-линейных функций. Содержание 1 Проективно расширенная числовая прямая 2 Расширенная комплексная плоскость 2.1 Алгебраические свойства 2.2 Геометрические свойства 2.3 Преобразование Мёбиуса и единичный круг 2.4 Примеры 3 Пространства старших размерностей 4 Примечания 5 Источники 6 Ссылки Проективно расширенная числовая прямая В случае ${\displaystyle n=1}$ пространство ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$ представляет собой расширенную числовую прямую. В этом случае преобразование Мёбиуса допускает альтернативное определение при помощи дробно-линейной функции: ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {ax+b}{cx+d}},&x\neq \infty \\\displaystyle {\frac {a}{c}},&x=\infty \end{cases}}\quad a,b,c,d\in \mathbb {R} ,\quad \left|{\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right|\neq 0}$ Расширенная комплексная плоскость