Меню Главная Случайная статья Настройки Признак Жамэ Материал из https://ru.wikipedia.org Признак Жамэ — признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Виктором Жамэ[1]. Содержание 1 Формулировка 2 Формулировка в предельной форме 3 Обобщение[3] 4 Примечания 5 Литература Формулировка Ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ сходится, если при ${\displaystyle n>N}$ выполняется неравенство: ${\displaystyle J_{n}={\frac {n}{\ln n}}\cdot \left(1-{\sqrt[{n}]{a_{n}}}\right)\geqslant 1+\delta ,}$ где ${\displaystyle \delta >0}$. Если же ${\displaystyle J_{n}\leqslant 1}$, при ${\displaystyle n>N}$, то ряд расходится. 1. Пусть для ряда ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ выполняется условие: ${\displaystyle {\frac {n}{\ln n}}\cdot \left(1-{\sqrt[{n}]{a_{n}}}\right)\geqslant \delta >1}$. Преобразуем это неравенство к виду: ${\displaystyle 0\leqslant a_{n}\leqslant \left(1-{\frac {\delta \ln n}{n}}\right)^{n}}$. Поскольку всегда можно найти достаточно большое ${\displaystyle n>N}$ такое, что: ${\displaystyle 1-{\frac {\delta \ln n}{n}}>0}$, то можно перейти к выражению: ${\displaystyle 0\leqslant a_{n}\leqslant \exp \left(n\ln \left(1-{\frac {\delta \ln n}{n}}\right)\right)}$. Применив разложение функции ${\displaystyle \ln(1-x)}$ в ряд Маклорена с остаточным членом в форме Пеано, получим: ${\displaystyle 0\leqslant a_{n}\leqslant \exp \left(-\delta \ln n-\delta ^{2}{\frac {\ln ^{2}n}{2n}}+o\left({\frac {\ln ^{2}n}{n}}\right)\right)}$ Вынесем первое слагаемое из-под экспоненты: ${\displaystyle 0\leqslant a_{n}\leqslant {\frac {1}{n^{\delta }}}\exp \left(-\delta ^{2}{\frac {\ln ^{2}n}{2n}}+o\left({\frac {\ln ^{2}n}{n}}\right)\right)}$ Теперь здесь применим разложение в ряд Маклорена для функции ${\displaystyle e^{x}}$: ${\displaystyle 0\leqslant a_{n}\leqslant {\frac {1}{n^{\delta }}}-\delta ^{2}{\frac {\ln ^{2}n}{2n^{\delta +1}}}+o\left({\frac {\ln ^{2}n}{n^{\delta +1}}}\right)}$ Пренебрегая бесконечно малыми и, учитывая, что ${\displaystyle \delta ^{2}{\frac {\ln ^{2}n}{2n^{\delta +1}}}\geqslant 0}$, получаем: ${\displaystyle 0\leqslant a_{n}\leqslant {\frac {1}{n^{\delta }}}-\delta ^{2}{\frac {\ln ^{2}n}{2n^{\delta +1}}}\leqslant {\frac {1}{n^{\delta }}}}$ Последнее, согласно признаку сравнения, означает, что рассматриваемый ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ сходится и расходится одновременно с рядом ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{\delta }}}}$ (ряд Дирихле), который сходится при ${\displaystyle \delta >1}$ и расходится при ${\displaystyle \delta \leqslant 1}$. 2. Пусть для ряда ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ выполняется условие: ${\displaystyle {\frac {n}{\ln n}}\cdot \left(1-{\sqrt[{n}]{a_{n}}}\right)\leqslant 1}$ Преобразуем это неравенство к виду: ${\displaystyle a_{n}\geqslant \left(1-{\frac {\ln n}{n}}\right)^{n}=\exp \left(n\ln \left(1-{\frac {\ln n}{n}}\right)\right)}$. Дважды применив разложение в ряд Маклорена с остаточным членом в форме Пеано, получим: ${\displaystyle a_{n}\geqslant {\frac {1}{n}}-{\frac {\ln ^{2}n}{2n^{2}}}+o\left({\frac {\ln ^{2}n}{n^{2}}}\right)=o\left({\frac {1}{n}}\right)}$ То есть согласно признаку сравнения, рассматриваемый ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ расходится, поскольку расходится ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}$ (гармонический ряд). Формулировка в предельной форме Если существует предел: ${\displaystyle J=\lim _{n\to \infty }J_{n}}$ то при ${\displaystyle J>1}$ ряд сходится, а при ${\displaystyle J<1}$ — расходится. Обобщение[3] Пусть на ${\displaystyle \mathbb {N} }$ заданы три положительно определённые функции: ${\displaystyle \varphi (n),g(n),f(n)}$, причём ${\displaystyle \varphi (n)}$ и ${\displaystyle f(n)}$ являются неограниченно возрастающими, и для них выполняются условия: ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\varphi (n)g(n)}{f(n)\ln n}}=q}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {g(n)}{f(n)}}=0}$. Тогда, если для ряда ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$, при ${\displaystyle n>N}$ выполняется неравенство: ${\displaystyle \left(1-a_{n}^{\frac {1}{\varphi (n)}}\right){\frac {f(n)}{g(n)}}\geqslant p>{\frac {1}{q}}}$, то ряд сходится. Если же для ряда ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$, при ${\displaystyle n>N}$ выполняется неравенство: ${\displaystyle \left(1-a_{n}^{\frac {1}{\varphi (n)}}\right){\frac {f(n)}{g(n)}}\leqslant p<{\frac {1}{q}}}$, то ряд расходится. Примечания V. M. Jamet. Sur les sries termes positifs // Nouvelles annales de mathmatiques. — 1892. — Т. 11. — С. 99-103. chisl А. В. Антонова Дополнение к признаку Жамэ Литература Б. П. Демидович Сборник задач и упражнений по математическому анализу, с. 254.