Меню Главная Случайная статья Настройки Интегрирование рациональных функций Материал из https://ru.wikipedia.org Интегрирование рациональных функций — операция взятия неопределённого интеграла от рациональной функции. Известно, что первообразная рациональной функции выражается в виде суммы рациональных функций, натуральных логарифмов и арктангенсов.[1] Обычно такое интегрирование выполняется при помощи разложения дроби на простейшие, однако иногда могут использоваться и другие способы, например метод Остроградского. Содержание 1 Разложение на простейшие 2 Табличные интегралы 3 Интегрирование дробей вида '"`UNIQ--postMath-00000077-QINU`"' 4 Интегрирование дробей вида '"`UNIQ--postMath-0000007E-QINU`"' 5 Интегрирование дробей вида '"`UNIQ--postMath-000000AB-QINU`"' 5.1 Рекуррентное соотношение 5.2 Тригонометрическая подстановка 6 Комплексное разложение на простейшие 7 Общий вид интеграла рациональной функции 8 Метод Остроградского 9 См. также 10 Примечания 11 Ссылки 12 Литература Разложение на простейшие Самым известным способом интегрирования рациональной функции является разложение дроби на простейшие. Впервые оно было использовано Исааком Барроу для вычисления интеграла от секанса.[2] Из алгебры известно, что любую рациональную функцию можно представить как сумму многочлена и конечного числа дробей определённого вида, называемых простейшими. Простейшая дробь над действительными числами — это дробь одного из следующих двух видов: ${\displaystyle {\frac {A}{(x-x_{0})^{k}}}}$ ${\displaystyle {\frac {Bx+C}{(x^{2}+px+q)^{k}}}}$, где ${\displaystyle x^{2}+px+q}$ — квадратный трёхчлен с отрицательным дискриминантом. Каждая из таких дробей затем интегрируется отдельно. Таким образом, разложение дроби на простейшие сводит задачу интегрирования произвольной рациональной функции к интегрированию простейших дробей.[3] Разложение дроби на простейшие строится следующим образом. Пусть требуется построить разложение дроби ${\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}}$. Без ограничения общности можно считать, что дробь несократимая и знаменатель имеет коэффициент ${\displaystyle 1}$ при старшей степени (если это не так, то сократим дробь и внесём старший коэффициент знаменателя в числитель). Правильная дробь в своём разложении на простейшие содержит только сумму правильных дробей, неправильная же ещё и многочлен. Однако случай неправильной дроби довольно просто сводится к случаю правильной. Для этого используют приём, называемый выделением целой части: числитель дроби делят с остатком на знаменатель; полученное в результате деления неполное частное ${\displaystyle G(x)}$ и остаток ${\displaystyle R(x)}$ позволяют представить изначальную дробь в виде ${\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}=G(x)+{\frac {R(x)}{Q(x)}}}$. Дробь ${\displaystyle {\frac {R(x)}{Q(x)}}}$ уже является правильной и может быть разложена в сумму одних только простейших дробей. Если же дробь ${\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}}$ изначально была правильной, то этот шаг делать не нужно. Разложение правильной дроби может иметь лишь простейшие слагаемые определённого вида, который зависит только от многочлена ${\displaystyle Q(x)}$. Как известно, любой приведённый многочлен над действительными числами может быть разложен в произведение приведённых линейных двучленов и приведённых квадратных трёхчленов с отрицательными дискриминантами. Разложим знаменатель дроби в такое произведение: ${\displaystyle Q(x)=(x-x_{1})^{k_{1}}...(x-x_{l})^{k_{l}}(x^{2}+p_{1}x+q_{1})^{m_{1}}...(x^{2}+p_{n}x+q_{n})^{m_{n}}}$ (здесь ${\displaystyle k_{j}}$ и ${\displaystyle m_{j}}$ — кратности соответствующих множителей, то есть количество раз, которое множитель входит в произведение). Все простейшие дроби в разложении содержат в знаменателе степень одного из таких множителей, причём эта степень меньше или равна кратности соответствующего множителя. К примеру: если в разложении ${\displaystyle Q(x)}$ содержится множитель ${\displaystyle (x-x_{0})^{k}}$, то в разложении на простейшие дроби содержится сумма ${\displaystyle {\frac {A_{1}}{x-x_{0}}}+{\frac {A_{2}}{(x-x_{0})^{2}}}+{\frac {A_{3}}{(x-x_{0})^{3}}}+...+{\frac {A_{k}}{(x-x_{0})^{k}}}}$ Аналогично, если в разложении ${\displaystyle Q(x)}$ содержится множитель ${\displaystyle (x^{2}+px+q)^{m}}$, то в разложении на простейшие дроби содержится сумма ${\displaystyle {\frac {B_{1}x+C_{1}}{x^{2}+px+q}}+{\frac {B_{2}x+C_{2}}{(x^{2}+px+q)^{2}}}+...+{\frac {B_{m}x+C_{m}}{(x^{2}+px+q)^{m}}}}$ Общий вид разложения правильной дроби на простейшие представляет сумму всех таких сумм для каждого множителя в разложении многочлена ${\displaystyle Q(x)}$. Таким образом, общий вид разложения на простейшие ${\displaystyle {\frac {R(x)}{Q(x)}}=\sum _{j=1}^{l}\sum _{i=1}^{k_{j}}{\frac {A_{ji}}{(x-x_{j})^{i}}}+\sum _{j=1}^{n}\sum _{i=1}^{m_{j}}{\frac {B_{ji}x+C_{ji}}{(x^{2}+p_{j}x+q_{j})^{i}}}}$ При этом некоторые слагаемые могут быть равны нулю. Общий вид разложения дроби нужен для наиболее известного способа разложения дроби на простейшие — метода неопределённых коэффициентов. Его суть заключается в составлении уравнений на неизвестные коэффициенты разложения. Записывается равенство правильной дроби и её разложения на простейшие с неопределёнными коэффициентами. Затем каким-либо способом составляются уравнения на эти коэффициенты и система из уравнений решается.[4] Наиболее очевидный способ составления уравнений — это умножить обе части на многочлен ${\displaystyle Q(x)}$ и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях ${\displaystyle x}$. Процедуру разложения на простейшие дроби проще всего описать на примерах. ${\displaystyle {\frac {1}{(x-1)^{2}(x-2)}}}$. Записываем общий вид её разложения на простейшие с неопределёнными коэффициентами. ${\displaystyle {\frac {1}{(x-1)^{2}(x-2)}}={\frac {A}{x-1}}+{\frac {B}{(x-1)^{2}}}+{\frac {C}{x-2}}}$ Умножаем на ${\displaystyle Q(x)}$ ${\displaystyle 1=A(x-1)(x-2)+B(x-2)+C(x-1)^{2}}$ Раскрываем скобки ${\displaystyle 1=Ax^{2}-2Ax-Ax+2A+Bx-2B+Cx^{2}-2Cx+C}$ ${\displaystyle 1=Ax^{2}+Cx^{2}-3Ax+Bx-2Cx+2A-2B+C}$ ${\displaystyle 1=(A+C)x^{2}+(-3A+B-2C)x+(2A-2B+C)}$ Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях: ${\displaystyle {\begin{cases}A+C=0,\\-3A+B-2C=0,\\2A-2B+C=1;\end{cases}}}$ Получили систему уравнений. Решаем её. Из первого уравнения: ${\displaystyle A=-C}$ Подставляем во второе и третье ${\displaystyle {\begin{cases}3C+B-2C=0,\\-2C-2B+C=1;\end{cases}}}$ ${\displaystyle {\begin{cases}C+B=0,\\-C-2B=1;\end{cases}}}$ Складываем уравнения ${\displaystyle -B=1}$ ${\displaystyle B=-1}$ Из первого уравнения последней системы: ${\displaystyle C=-B=1}$ Из полученного в начале соотношения на ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A=-C=-1}$ Все коэффициенты разложения найдены. ${\displaystyle {\frac {1}{(x-1)^{2}(x-2)}}=-{\frac {1}{x-1}}-{\frac {1}{(x-1)^{2}}}+{\frac {1}{x-2}}}$