Меню Главная Случайная статья Настройки Расслоённое произведение Материал из https://ru.wikipedia.org Расслоённое произведение (расслоенное произведение, послойное произведение, коамальгама, декартов квадрат, англ. pullback) — теоретико-категорное понятие, определяемое как предел диаграммы, состоящей из двух морфизмов: ${\displaystyle X\to Z\leftarrow Y}$. Расслоённое произведение часто обозначают как ${\displaystyle X\times _{Z}Y}$. Двойственное понятие — кодекартов квадрат. Содержание 1 Универсальное свойство 2 Примеры 3 См. также 4 Литература Универсальное свойство Для пары морфизмов ${\displaystyle f\colon X\to Z}$ и ${\displaystyle g\colon Y\to Z}$ в категории ${\displaystyle C}$ расслоённое произведение ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ над ${\displaystyle Z}$ — это объект ${\displaystyle P=X\times _{Z}Y}$ вместе с морфизмами ${\displaystyle p_{1},p_{2},}$ для которых следующая диаграмма коммутативна: Более того, расслоённое произведение должно быть универсальным объектом с таким свойством: для любого объекта ${\displaystyle Q}$ с парой морфизмов ${\displaystyle q_{1}\colon Q\to X}$ и ${\displaystyle q_{2}\colon Q\to Y}$, дополняющих пару ${\displaystyle (f,g)}$ до коммутативного квадрата, существует единственный морфизм ${\displaystyle u\colon Q\to P}$ такой, что коммутативна диаграмма: Внутренний квадрат этой диаграммы, образованный морфизмами ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle g}$, ${\displaystyle p_{1}}$, ${\displaystyle p_{2}}$ называется декартовым (или коуниверсальным) квадратом для пары морфизмов ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$. Как и другие объекты, определённые с помощью универсального свойства, расслоённое произведение не обязательно существует, но если существует, то определено с точностью до изоморфизма. Примеры В категории множеств расслоённое произведение множеств ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ с отображениями ${\displaystyle f\colon X\to Z}$ и ${\displaystyle g\colon Y\to Z}$ — это множество: ${\displaystyle X\times _{Z}Y=\{(x,y)\in X\times Y|f(x)=g(y)\}}$ вместе с естественными проекциями на компоненты. Аналогичным образом определяется расслоённое произведение в категории коммутативных колец. Также расслоённое произведение в ${\displaystyle \mathbf {Set} }$ можно описывать двумя асимметричными способами: ${\displaystyle X\times _{Z}Y}$ ${\displaystyle \cong \bigsqcup _{x\in X}g^{-1}[\{f(x)\}]}$ ${\displaystyle \cong \bigsqcup _{y\in Y}f^{-1}[\{g(y)\}]}$, где ${\displaystyle \bigsqcup }$ — дизъюнктное объединение множеств. См. также Индуцированное расслоение Литература Голдблатт Р. Топосы. Категорный анализ логики = Topoi. The categorial analysis of logic / Пер. с англ. В. Н. Гришина и В. В. Шокурова под ред. Д. А. Бочвара. — М.: Мир, 1983. — 488 с.