Меню Главная Случайная статья Настройки Релятивистская механика Материал из https://ru.wikipedia.org Релятивистская механика — раздел физики, рассматривающий законы механики (законы движения тел и частиц) при скоростях, сравнимых со скоростью света. При скоростях значительно меньших скорости света переходит в классическую (ньютоновскую) механику. Содержание 1 Общие принципы 2 Второй закон Ньютона в релятивистской механике 3 Функция Лагранжа свободной частицы в релятивистской механике 4 Релятивистская частица как неголономная система 5 Примечания 6 См. также 7 Литература Общие принципы В классической механике пространственные координаты и время являются независимыми (при отсутствии гомоных связей, зависящих от времени), время является абсолютным, то есть течёт одинаково во всех системах отсчёта, и действуют преобразования Галилея. В релятивистской же механике события происходят в четырёхмерном пространстве, объединяющем физическое трёхмерное пространство и время (пространство Минковского) и действуют преобразования Лоренца. Таким образом, в отличие от классической механики, одновременность событий зависит от выбора системы отсчёта. Основные законы релятивистской механики — релятивистское обобщение второго закона Ньютона и релятивистский закон сохранения энергии-импульса — являются следствием такого «смешения» пространственных и временной координат при преобразованиях Лоренца. Второй закон Ньютонав релятивистской механике Сила определяется как ${\displaystyle {\vec {F}}={\frac {d{\vec {p}}}{dt}}.}$ Также известно выражение для релятивистского импульса: ${\displaystyle {\vec {p}}={\frac {m{\vec {v}}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}.}$ Взяв для определения силы производную по времени от последнего выражения, получим: ${\displaystyle {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}=m\gamma {\vec {a}}+m\gamma ^{3}{\vec {\beta }}({\vec {\beta }}{\vec {a}}),}$ где введены обозначения: ${\displaystyle {\vec {\beta }}\equiv {\frac {\vec {v}}{c}}}$ и ${\displaystyle \gamma \equiv {\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$. В результате выражение для силы приобретает вид: ${\displaystyle {\vec {F}}=m\gamma {\vec {a}}+m\gamma ^{3}{\vec {\beta }}({\vec {\beta }}{\vec {a}}).}$ Отсюда видно, что в релятивистской механике в отличие от нерелятивистского случая ускорение не обязательно направлено по силе, в общем случае ускорение имеет также и составляющую, направленную по скорости. Функция Лагранжасвободной частицы в релятивистской механике Запишем интеграл действия, исходя из принципа наименьшего действия ${\displaystyle S=-\int \limits _{a}^{b}\alpha ds,}$ где ${\displaystyle \alpha }$-положительное число. Как известно из специальной теории относительности (СТО) ${\displaystyle ds=c{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}dt.}$ Подставляя в интеграл движения, находим ${\displaystyle S=-\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}\alpha c{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}dt.}$ Но, с другой стороны, интеграл движения можно выразить через функцию Лагранжа ${\displaystyle S=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\mathcal {L}}dt.}$ Сравнивая последние два выражения, нетрудно понять, что подынтегральные выражения должны быть равны, то есть ${\displaystyle {\mathcal {L}}=-\alpha c{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}.}$ Далее, разложим последнее выражение по степеням ${\displaystyle {\frac {v}{c}}}$, получим ${\displaystyle {\mathcal {L}}\simeq \alpha c+{\frac {\alpha v^{2}}{2c}}.}$ Первый член разложения не зависит от скорости, а значит не вносит никаких изменений в уравнения движения. Тогда, сравнивая с классическим выражением функции Лагранжа: ${\displaystyle {\frac {mv^{2}}{2}}}$, нетрудно определить константу ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha =mc.}$ Таким образом, окончательно получаем вид функции Лагранжа свободной частицы ${\displaystyle {\mathcal {L}}=-mc^{2}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}.}$ Рассуждения, приведенные выше, можно рассматривать не только для частицы, но и для произвольного тела, лишь бы его части двигались как одно целое. Релятивистская частица какнеголономная система Поскольку квадрат 4-вектора импульса ${\displaystyle P_{\alpha }}$ является постоянной величиной: ${\displaystyle P_{\alpha }P^{\alpha }-m^{2}c^{2}=0,}$ то релятивистская частица может рассматриваться как механическая система с неголономной связью в 4-мерном псевдоевклидовом пространстве[1][2][3]. Примечания O. Krupkov and J. Musilov, «The relativistic particle as a mechanical system with non-holonomic constraints», J. Phys. A: Math. Gen. 34 (2001) 3859-3876. O. Krupkova, J. Musilova, «The relativistic mechanics in a nonholonomic setting: A unified approach to particles with non-zero mass and massless particles» arXiv:0904.2933. V.E. Tarasov «Relativistic non-Hamiltonian mechanics» Annals of Physics. Vol.325. No.10.(2010) p.2103-2119. См. также Теория относительности Специальная теория относительности Общая теория относительности Релятивистски равноускоренное движение Релятивистская электродинамика Литература Паули В. Теория относительности. М.: Наука, 1991. 328 с. Принцип относительности. Сборник работ по специальной теории относительности. М.: Атомиздат, 1973. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — Издание 3-е, переработанное. — М.: Физматгиз, 1960. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). Уиттекер Э. История теории эфира и электричества. Современные теории 1900—1926. Пер с англ. Москва, Ижевск: ИКИ, 2004. 464с. ISBN 5-93972-304-7 (Глава 2)