Меню Главная Случайная статья Настройки Релятивистское равноускоренное движение Материал из https://ru.wikipedia.org Релятивистское равноускоренное движение (или релятивистское равномерно ускоренное движение) — такое движение объекта, при котором его собственное ускорение постоянно. Собственным ускорением называется ускорение объекта в сопутствующей (собственной) системе отсчета, то есть в инерциальной системе отсчёта, в которой текущая мгновенная скорость объекта равна нулю (при этом система отсчёта меняется от точки к точке). Примером релятивистского равноускоренного движения может быть движение тела постоянной массы под действием постоянной (в сопутствующей системе отсчёта) силы. Акселерометр, находящийся на равномерно ускоряющемся теле, не будет менять своих показаний. В отличие от классической механики, физическое тело не может всё время двигаться с неизменным (в фиксированной инерциальной системе отсчёта) ускорением, так как в этом случае его скорость рано или поздно превысит скорость света. Однако собственное ускорение может быть постоянным сколь угодно долго; при этом скорость объекта в фиксированной инерциальной системе отсчёта будет асимптотически приближаться к скорости света, но никогда не превзойдёт её. В релятивистской механике постоянная сила, действующая на объект, непрерывно изменяет его скорость, оставляя её, тем не менее, меньше скорости света. Простейшим примером релятивистски равноускоренного движения является одномерное движение заряженной частицы в однородном электрическом поле, направленном вдоль скорости[1]. Для наблюдателя, движущегося с постоянным ускорением в пространстве Минковского, существуют два горизонта событий, так называемые горизонты Риндлера (см. координаты Риндлера). Содержание 1 Зависимость скорости от времени 2 Траектория движения 3 Собственное ускорение 4 Излучение равномерно ускоренного заряда 5 См. также 6 Примечания Зависимость скорости от времени При воздействии силы[2] ${\displaystyle \textstyle \mathbf {f} }$ на объект с постоянной массой ${\displaystyle \textstyle m}$ его импульс изменяется следующим образом[3]: ${\displaystyle \mathbf {f} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}={\frac {d}{dt}}{\frac {m\mathbf {u} }{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}/c^{2}}}}.}$ Если сила постоянна, то это уравнение легко интегрируется: ${\displaystyle {\frac {\mathbf {u} }{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}/c^{2}}}}=\mathbf {w} _{0}+\mathbf {a} \,t,}$ где ${\displaystyle \textstyle \mathbf {a} =\mathbf {f} /m}$ — постоянный вектор в направлении силы, а ${\displaystyle \textstyle \mathbf {w} _{0}}$ — константа интегрирования, выражающаяся через начальную скорость объекта ${\displaystyle \textstyle \mathbf {u} _{0}}$ в момент времени ${\displaystyle \textstyle t=0}$: ${\displaystyle \mathbf {w} _{0}={\frac {\mathbf {u} _{0}}{\sqrt {1-\mathbf {u} _{0}^{2}/c^{2}}}}.}$ Явное выражение скорости через время имеет вид: ${\displaystyle \mathbf {u} (t)={\frac {\mathbf {w} _{0}+\mathbf {a} \,t}{\sqrt {1+(\mathbf {w} _{0}+\mathbf {a} \,t)^{2}/c^{2}}}}.}$ Скорость частицы под воздействием постоянной силы стремится к скорости света, но никогда её не превышает. В нерелятивистском пределе малых скоростей зависимость скорости от времени принимает форму ${\displaystyle \mathbf {u} \approx \mathbf {u} _{0}+\mathbf {a} \,t}$, отвечающую классическому равноускоренному движению. Траектория движения Траектория равноускоренного движения в общем случае зависит от ориентации постоянных векторов ${\displaystyle \textstyle \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \textstyle \mathbf {w} _{0}.}$ После интегрирования уравнения ${\displaystyle \textstyle \mathbf {u} (t)=d\mathbf {r} /dt}$ получается следующее выражение: ${\displaystyle \mathbf {r} (t)=\mathbf {r} _{0}+{\frac {\displaystyle \mathbf {a} \,c}{\displaystyle a^{2}}}\,\left({\sqrt {c^{2}+(\mathbf {w} _{0}+\mathbf {a} \,t)^{2}}}-{\sqrt {c^{2}+\mathbf {w} _{0}^{2}}}\right)+{\frac {[\mathbf {a} \times [\mathbf {w} _{0}\times \mathbf {a} ]]}{a^{2}}}\cdot \tau _{0},}$ где ${\displaystyle \textstyle \mathbf {r} _{0}}$ — радиус-вектор положения тела в момент времени ${\displaystyle \textstyle t=0,}$ а ${\displaystyle \textstyle \tau _{0}}$ — собственное время объекта[4]: ${\displaystyle \tau _{0}={\frac {c}{a}}\cdot \ln {\frac {\displaystyle {\sqrt {c^{2}+(\mathbf {w} _{0}+\mathbf {a} t)^{2}}}+at+(\mathbf {w} _{0}\mathbf {a} )/a}{\displaystyle {\sqrt {c^{2}+\mathbf {w} _{0}^{2}}}+(\mathbf {w} _{0}\mathbf {a} )/a}}.}$ Если собственное ускорение ${\displaystyle \textstyle \mathbf {a} }$ и начальная скорость ${\displaystyle \textstyle \mathbf {u} _{0}}$ параллельны друг другу, то векторное произведение ${\displaystyle \textstyle [\mathbf {a} \times [\mathbf {w} _{0}\times \mathbf {a} ]]}$ равно нулю, и выражение для траектории заметно упрощается. В этом случае, если объект движется вдоль оси x, то его мировая линия на плоскости Собственное время ${\displaystyle \textstyle \tau _{0}}$ равно времени, прошедшему на часах, связанных с объектом, от начального момента ${\displaystyle \textstyle t=0}$ до момента времени ${\displaystyle \textstyle t}$ в неподвижной системе отсчёта, относительно которой наблюдается движение. В результате замедления времени всегда ${\displaystyle \textstyle \tau _{0}<t.}$ В нерелятивистском пределе ${\displaystyle \textstyle c\to \infty }$ (малые скорости) получается уравнение классического равноускоренного движения: ${\displaystyle \mathbf {r} (t)\approx \mathbf {r} _{0}+\mathbf {u} _{0}\,t+{\frac {\mathbf {a} \,t^{2}}{2}}.}$ Собственное ускорение Постоянный вектор ${\displaystyle \textstyle \mathbf {a} }$ имеет смысл обычного ускорения в мгновенной системе отсчёта, связанной с ускоряющимся телом. Если тело относительно своего предыдущего положения изменяет скорость на ${\displaystyle \textstyle a\,dt',}$ где ${\displaystyle \textstyle a={\textrm {const}},}$ то в неподвижной системе отсчёта такое движение будет релятивистски равноускоренным. По этой причине параметр ${\displaystyle \textstyle a}$ называется собственным ускорением. Приняв такое определение движения, можно получить зависимость скорости от времени, не обращаясь к динамике, оставаясь только в рамках кинематики теории относительности[5]. Модуль собственного ускорения ${\displaystyle a=a^{\prime }\gamma ^{3}={\frac {1}{\left(1-u^{2}/c^{2}\right)^{3/2}}}{\frac {{\textrm {d}}u}{{\textrm {d}}t}},}$ где ${\displaystyle u(t)={\frac {at}{\sqrt {1+\left({\frac {at}{c}}\right)^{2}}}}=c\operatorname {th} \left(\operatorname {Arsh} {\frac {at}{c}}\right);}$ ${\displaystyle x(t)={\frac {c^{2}}{a}}\left({\sqrt {1+\left({\frac {at}{c}}\right)^{2}}}-1\right)={\frac {c^{2}}{a}}\left(\operatorname {ch} \left(\operatorname {Arsh} {\frac {at}{c}}\right)-1\right).}$ Зависимость тех же величин от собственного времени объекта: ${\displaystyle u(\tau )=c\operatorname {th} {\frac {a\tau }{c}};}$ ${\displaystyle x(\tau )={\frac {c^{2}}{a}}\left(\operatorname {ch} {\frac {a\tau }{c}}-1\right).}$ Зависимость собственного времени от координатного времени: ${\displaystyle \tau (t)={\frac {c}{a}}\ln \left({\sqrt {1+\left({\frac {at}{c}}\right)^{2}}}+{\frac {at}{c}}\right)={\frac {c}{a}}\operatorname {Arsh} {\frac {at}{c}}.}$ Зависимость координатного времени от собственного времени: ${\displaystyle t(\tau )={\frac {c}{a}}\operatorname {sh} {\frac {a\tau }{c}}.}$ Излучение равномерно ускоренного заряда Заряд См. также Координаты Риндлера Быстрота Примечания Движение заряженной частицы под углом, не равным 0 или 180°, к однородному электрическому полю не является равноускоренным, поскольку, вообще говоря, при лоренцевском преобразовании электромагнитное поле изменяется, что приводит к изменению действующей на тело силы в сопутствующей системе отсчёта. Исключение составляет лишь лоренцевское преобразование вдоль однородного электрического поля; в этом случае поле не меняется. В этой статье 3-векторы обозначены прямым полужирным шрифтом, а их длины (в какой-либо инерциальной системе отсчёта) — обычным курсивом. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7. Логунов А. А. Лекции по теории относительности и гравитации: Современный анализ проблемы. — М.: «Наука», 1987. Ускоренное движение Архивная копия от 9 августа 2010 на Wayback Machine в теории относительности Гинзбург В. Л. Об излучении и силе радиационного трения при равномерно ускоренном движении заряда (рус.) // Успехи физических наук. — Российская академия наук, 1969. — Т. 98. — С. 569—585. Архивировано 24 октября 2020 года.