Меню Главная Случайная статья Настройки Род поверхности Материал из https://ru.wikipedia.org Род поверхности — топологическая характеристика замкнутой поверхности ${\displaystyle \Sigma }$. Определяется как максимальное число замкнутых непересекающихся кривых не разделяющих поверхность на части. Содержание 1 Примеры 2 Свойства 2.1 Ориентируемые поверхности 2.2 Неориентируемые поверхности 3 См. также Примеры Сфера имеет род 0. Тор имеет род 1. Проективная плоскость ${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{2}}$ имеет род 1. Свойства Ориентируемые поверхности Для ориентируемых поверхностей род равен числу ручек. Эквивалентно, ${\displaystyle \Sigma }$ имеет род ${\displaystyle g}$, если ${\displaystyle \Sigma }$ гомеоморфна связной сумме сферы (${\displaystyle S^{2}}$) и ${\displaystyle g}$ торов ${\displaystyle T^{2}}$: ${\displaystyle \Sigma \sim S^{2}\#(\underbrace {T^{2}\#\ldots \#T^{2}} _{g})}$. Род ${\displaystyle g}$ ориентированной поверхности ${\displaystyle \Sigma }$ может быть вычислен через её эйлерову характеристику ${\displaystyle \chi (\Sigma )}$: ${\displaystyle g={\frac {2-\chi (\Sigma )}{2}}}$. Род поверхности ${\displaystyle \Sigma \subset \mathbb {C} P^{2}}$, являющейся замыканием множества нулей ${\displaystyle \{P(x,\;y)=0\}}$ многочлена ${\displaystyle P(x,\;y)}$ степени ${\displaystyle d}$ общего положения, выражается через его степень как: ${\displaystyle g={\frac {(d-1)(d-2)}{2}}.}$ Род гиперэллиптической поверхности ${\displaystyle \Sigma \subset \mathbb {C} P^{2}}$, являющейся замыканием множества: ${\displaystyle \{(x,\;y)\mid y^{2}=P(x)\}}$. Для свободного от квадратов многочлена ${\displaystyle P(x)}$ степени ${\displaystyle d}$, выражается через его степень как: ${\displaystyle g=\left\lceil {\frac {d-1}{2}}\right\rceil }$. Неориентируемые поверхности Для неориентируемых поверхностей род равен числу вклеенных в неё лент Мёбиуса Эквивалентно, ${\displaystyle \Sigma }$ имеет род ${\displaystyle g}$, если ${\displaystyle \Sigma }$ гомеоморфна связной сумме сферы (${\displaystyle S^{2}}$) и ${\displaystyle g}$ проективных плоскостей ${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{2}}$: ${\displaystyle \Sigma \sim S^{2}\#(\underbrace {\mathbb {R} \mathrm {P} ^{2}\#\dots \#\mathbb {R} \mathrm {P} ^{2}} _{g})}$. Род ${\displaystyle g}$ неориентируемой поверхности ${\displaystyle \Sigma }$ может быть вычислен через её эйлерову характеристику ${\displaystyle \chi (\Sigma )}$: ${\displaystyle g=2-\chi (\Sigma )}$. См. также Род многообразия