Меню Главная Случайная статья Настройки Ромбоикосододекаэдр Материал из https://ru.wikipedia.org Ромбоикосододекаэдр[1][2][3] — полуправильный многогранник (архимедово тело) с 62 гранями, составленный из 20 правильных треугольников, 30 квадратов и 12 правильных пятиугольников. В каждой из его 60 одинаковых вершин сходятся одна пятиугольная грань, две квадратных и одна треугольная. Телесный угол при вершине равен ${\displaystyle 2\pi -\arccos {\frac {5-4{\sqrt {5}}}{15}}\approx 1{,}42\pi .}$ Ромбоикосододекаэдр имеет 120 рёбер равной длины. При 60 рёбрах (между треугольной и квадратной гранями) двугранные углы равны ${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}}{6}}\right)\approx 159{,}09^{\circ };}$ при 60 рёбрах (между квадратной и пятиугольной гранями) ${\displaystyle \arccos \left(-{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}}\right)\approx 148{,}28^{\circ }.}$ Ромбоикосододекаэдр можно представить либо как додекаэдр, усечённый по вершинам и рёбрам (при этом треугольники соответствуют вершинам додекаэдра, а квадраты — рёбрам), либо как икосаэдр, усечённый таким же образом (при этом пятиугольники соответствуют вершинам икосаэдра, а квадраты — рёбрам), либо же как усечённый икосододекаэдр. Содержание 1 В координатах 2 Метрические характеристики 3 В культуре 4 Примечания 5 Литература 6 Ссылки В координатах Ромбоикосододекаэдр с длиной ребра ${\displaystyle 2}$ можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы координаты его вершин были всевозможными циклическими перестановками наборов чисел ${\displaystyle (\pm 1;\;\pm 1;\;\pm (2\Phi +1)),}$ ${\displaystyle (\pm (\Phi +1);\;\pm \Phi ;\;\pm 2\Phi ),}$ ${\displaystyle (\pm (\Phi +2);\;0;\;\pm (\Phi +1)),}$ где ${\displaystyle \Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ — отношение золотого сечения. Начало координат ${\displaystyle (0;\;0;\;0)}$ будет при этом центром симметрии многогранника, а также центром его описанной и полувписанной сфер. Метрические характеристики Если ромбоикосододекаэдр имеет ребро длины ${\displaystyle a}$, его площадь поверхности и объём выражаются как ${\displaystyle S=\left(30+5{\sqrt {3}}+3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\approx 59{,}3059828a^{2},}$ ${\displaystyle V={\frac {1}{3}}\left(60+29{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 41{,}6153238a^{3}.}$ Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен ${\displaystyle R={\frac {1}{2}}{\sqrt {11+4{\sqrt {5}}}}\;a\approx 2{,}2329505a;}$ радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) — ${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}{\sqrt {10+4{\sqrt {5}}}}\;a\approx 2{,}1762509a.}$ Вписать в ромбоикосододекаэдр сферу — так, чтобы она касалась всех граней, — невозможно. Радиус наибольшей сферы, которую можно поместить внутри ромбоикосододекаэдра с ребром ${\displaystyle a}$ (она будет касаться только всех пятиугольных граней в их центрах), равен ${\displaystyle r_{5}={\frac {3}{2}}{\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}\;a\approx 2{,}0645729a.}$ Расстояния от центра многогранника до квадратных и треугольных граней превосходят ${\displaystyle r_{5}}$ и равны соответственно ${\displaystyle r_{4}={\frac {1}{2}}\left(2+{\sqrt {5}}\right)a\approx 2{,}1180340a,}$ ${\displaystyle r_{3}=\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\sqrt {\frac {5}{3}}}\right)a\approx 2{,}1570199a.}$ В культуре В наборах для моделирования пространственных фигур Zometool в качестве соединителей используются рёберные каркасы ромбоикосододекаэдра. Примечания Веннинджер, 1974, с. 20, 38. Энциклопедия элементарной математики, 1963, с. 437, 435. Люстерник, 1956, с. 184. Литература М. Веннинджер. Модели многогранников. — Мир, 1974. Ссылки Weisstein, Eric W. Ромбоикосододекаэдр (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.