Ru.Wikipedia.Org - Связанное состояние

Меню
Главная
Случайная статья
Настройки

Связанное состояние
Материал из https://ru.wikipedia.org

Связанное состояние — это сочетание двух или более фундаментальных строительных блоков, таких как частицы, атомы или тела, которые ведут себя как единый объект и для его разделения требуется энергия^[1].

В квантовой физике связанное состояние — это квантовое состояние частицы, подверженное такому потенциалу, что частица имеет тенденцию оставаться локализованной в одной или нескольких областях пространства^[2]. Потенциал может быть внешним или быть результатом присутствия другой частицы; в последнем случае можно эквивалентно определить связанное состояние как состояние, представляющее две или более частицы, энергия взаимодействия которых превышает полную энергию каждой отдельной частицы в отдельности. Одним из последствий является то, что, учитывая потенциал, исчезающий на бесконечности, состояния с отрицательной энергией должны быть связаны. Энергетический спектр набора связанных состояний чаще всего дискретен, в отличие от состояний рассеяния свободных частиц, которые имеют непрерывный спектр.

Метастабильные состояния с чистой положительной энергией взаимодействия, но большим временем затухания, хотя и не являются связанными состояниями в строгом смысле этого слова, часто также считаются нестабильными связанными состояниями и называются «квазисвязанными состояниями»^[3]. Примеры включают радионуклиды и атомы Ридберга^[4].

В релятивистской квантовой теории поля устойчивое связанное состояние n частиц с массами

\{m_{k}\}_{k=1}^{n}

соответствует полюсу в S-матрице с энергией центра масс менее

\textstyle \sum _{k}m_{k}

. Нестабильное связанное состояние проявляется в виде полюса со комплекснозначной энергией центра масс.

Содержание

Примеры

Протон и электрон могут двигаться отдельно; когда они это делают, то общая энергия центра масс положительна, и такую пару частиц можно описать как ионизированный атом. Как только электрон начинает «вращаться» вокруг протона, энергия становится отрицательной и возникает связанное состояние — атом водорода. Стабильным является только связанное состояние, которое обладает наименьшей энергией, называемое основным состоянием. Другие возбуждённые состояния нестабильны и распадаются на стабильные (но не на другие нестабильные) связанные состояния с меньшей энергией, например, путём испускания фотона.
Позитроний — это нестабильное связанное состояние электрона и позитрона. Он распадается на фотоны.
Любое состояние квантового гармонического осциллятора является связанным, но имеет положительную энергию. Обратите внимание, что $\lim _{x\to \pm \infty }{V_{\text{QHO}}(x)}=\infty$ , поэтому приведённое ниже неприменимо.
Ядро — это связанное состояние протонов и нейтронов (нуклонов).
Сам протон представляет собой связанное состояние трёх кварков (два верхних и один нижний; один красный, один зелёный и один синий). Однако, в отличие от атома водорода, отдельные кварки никогда не могут быть разделены.
Модели Хаббарда и Джейнса — Каммингса — Хаббарда (JCH) оптсывают аналогичные связанные состояния. В модели Хаббарда два отталкивающихся бозонных атома могут образовывать связанную пару в оптической решётке^[5]^[6]^[7]. Гамильтониан JCH также имеет решение в виде двухполяритонных связанные состояний при достаточно сильном взаимодействии фотона с атомом^[8].

Определение

Пусть

(X,{\mathcal {A}},\mu )

есть вероятностное пространство, связанное с сепарабельным комплексным гильбертовым пространством

H

. Определимоднопараметрическую группу унитарных операторов

(U_{t})_{t\in \mathbb {R} }

, оператор плотности

\rho =\rho (t_{0})

и наблюдаемую

T

на

H

. Пусть

\mu (T,\rho )

индуцирована распределением вероятностей

T

относительно

\rho

. Тогда эволюция

\rho (t_{0})\mapsto [U_{t}(\rho )](t_{0})=\rho (t_{0}+t)

связан (ограничена) по отношению к

T

если

\lim _{R\rightarrow \infty }{\sup _{t\geq t_{0}}{\mu (T,\rho (t))(\mathbb {R} _{>R})}}=0

где

\mathbb {R} _{>R}=\lbrace x\in \mathbb {R} \mid x>R\rbrace

.^{[источник не указан 499 дней]}^[9]

Квантовая частица находится в связанном состоянии, если ни в какой момент времени она не оказывается «слишком далеко» от любой конечной области

R\subset X

. Например, используя представление волновой функции, это означает

{\begin{aligned}0&=\lim _{R\to \infty }{\mathbb {P} ({\text{particle measured inside }}X\setminus R)}\\&=\lim _{R\to \infty }{\int _{X\setminus R}|\psi (x)|^{2}\,d\mu (x)},\end{aligned}}

такой, что

\int _{X}{|\psi (x)|^{2}\,d\mu (x)}<\infty .

В общем, квантовое состояние является связанным состоянием тогда и только тогда, когда оно конечно нормируемо во все времена

t\in \mathbb {R}

^[10]. Кроме того, связанное состояние лежит в пределах чисто точечной части спектра

T

тогда и только тогда, когда оно является собственным состоянием

T

^[11].

Говоря более неформально, «ограниченность» является результатом выбора области определения и характеристик состояния, а не наблюдаемой велечины. Для конкретного примера: пусть

H:=L^{2}(\mathbb {R} )

и разрешим

T

быть оператором координаты. Учитывая компактную

\rho =\rho (0)\in H

[-1,1]\subseteq \mathrm {Supp} (\rho )

Если эволюция состояния $\rho$ «перемещает этот волновой пакет вправо», например, если $[t-1,t+1]\in \mathrm {Supp} (\rho (t))$ для всех $t\geq 0$ , затем $\rho$ не является связанным состоянием по отношению к координате.
Если $\rho$ не меняется во времени, то есть $\rho (t)=\rho$ для всех $t\geq 0$ , тогда $\rho$ привязано по отношению к положению.
В более общем случае: если эволюция состояния $\rho$ «просто движется $\rho$ внутри ограниченной области», то $\rho$ привязано по отношению к координате.

Характеристики

Поскольку конечно нормируемые состояния должны лежать в пределах чисто точечной части (дискретного) спектра, связанные состояния должны лежать в чисто точечной части. Однако, как указали Нейман и Вигнер, энергия связанного состояния может находиться в непрерывной части спектра. Это явление называется связанным состоянием в континууме^[12]^[13].

Состояния, связанные с координатой

Рассмотрим одночастичное уравнение Шрёдингера. Если состояние обладает энергией

{\textstyle E<\max {\left(\lim _{x\to \infty }{V(x)},\lim _{x\to -\infty }{V(x)}\right)}}

, то волновая функция

{\frac {\psi ^{\prime \prime }}{\psi }}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(V(x)-E)>0{\text{ for }}x>X

так что

Невырожденность в одномерных связанных состояниях

Ниже показано, что одномерные связанные состояния невырождены по энергии для волновых функций с хорошим поведением, которые затухают до нуля на бесконечности. Это не обязательно справедливо для волновой функции в более высоких измерениях. Благодаря свойству невырожденных состояний одномерные связанные состояния всегда можно выразить как действительные волновые функции.

Доказательство

Рассмотрим два собственных состояний

{\textstyle \Psi _{1}}

{\textstyle \Psi _{2}}

с одинаковым собственным значением энергии.

Тогда, поскольку уравнение Шредингера выражается как: $E=-{\frac {1}{\Psi _{i}(x,t)}}{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\ partial^{2}\Psi _{i}(x,t)}{\partial x^{2}}}+V(x,t)$ удовлетворяется для i = 1 и 2, вычитание двух уравнений даёт:

{\frac {1}{\Psi _{1}(x,t)}}{\frac {\partial ^{2}\Psi _{1}(x,t)}{\partial x^{2}}}-{\frac {1}{\Psi _{2}(x,t)}}\ frac{\partial ^{2}\Psi _{2}(x,t)}{\partial x^{2}}=0

которое можно переставить, чтобы получить условие

{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial \Psi _{1}}{\partial x}}\Psi _{2}\right)-{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial \Psi _{2}}{\partial x}}\Psi _{1}\right)=0

Поскольку ${\textstyle {\frac {\partial \Psi _{1}}{\partial x}}(x)\Psi _{2}(x)-{\frac {\partial \Psi _{2}}{\partial x}}(x)\Psi _{1}(x)=C}$ , принимая предел x, стремящийся к бесконечности с обеих сторон, волновые функции исчезают и дают ${\textstyle C=0}$ .

Решение задачи ${\textstyle {\frac {\partial \Psi _{1}}{\partial x}}(x)\Psi _{2}(x)={\frac {\partial \Psi _{2}}{\partial x}}(x)\Psi _{1}(x)}$ , мы получаем: ${\textstyle \Psi _{1}(x)=k\Psi _{2}(x)}$ , что доказывает, что собственная функция энергии одномерного связанного состояния уникальна.

Более того, можно показать, что эти волновые функции всегда могут быть представлены вполне реальной волновой функцией. Определить реальные функции ${\textstyle \rho _{1}(x)}$ и ${\textstyle \rho _{2}(x)}$ такой, что ${\textstyle \Psi (x)=\rho _{1}(x)+i\rho _{2}(x)}$ . Затем из уравнения Шрёдингера: $\Psi ''=-{\frac {2m(E-V(x))}{\hbar ^{2}}}\Psi$ мы получаем это, поскольку члены в уравнении все действительные значения

\rho _{i}''=-{\frac {2m(E-V(x))}{\hbar ^{2}}}\rho _{i}

применяется для i = 1 и 2. Таким образом, каждое одномерное связанное состояние может быть представлено вполне вещественными собственными функциями. Обратите внимание, что вещественное представление волновых функций из этого доказательства применимо для всех невырожденных состояний в целом.

Теорема об узлах

Теорема об узлах утверждает, что n-я связанная волновая функция, упорядоченная по возрастанию энергии, имеет ровно n-1 узлов, то есть точки

x=a

где

\psi (a)=0\neq \psi '(a)

. Из-за формы независимых от времени уравнений Шрёдингера физическая волновая функция не может иметь

\psi (a)=0=\psi '(a)

поскольку это соответствует решению

\psi (x)=0

^[15].

Требования

Бозон с массой

V(r)=\pm {\frac {\alpha _{\chi }}{r}}e^{-{\frac {r}{\lambda \!\!\!{\frac {}{\ }}_{\chi }}}}

где

\alpha _{\chi }=g^{2}/4\pi

,

— приведённая комптоновская длина волны. Скалярный бозон создает универсальный потенциал притяжения, тогда как векторый притягивает частицы к античастицам, но отталкивает, как подобные пары. Для двух частиц массой m₁ и m₂ боровский радиус системы равен

a_{0}={\frac {{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{1}+{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{2}}{\alpha _{\chi }}}

и даёт безразмерное число

D={\frac {{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{\chi }}{a_{0}}}=\alpha _{\chi }{\frac {{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{\chi }}{{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{1}+{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{2}}}=\alpha _{\chi }{\frac {m_{1}+m_{2}}{m_{\chi }}}

Для того чтобы первое связанное состояние вообще существовало,

D\gtrsim 0.8

. Поскольку фотон безмассовый, то для электромагнетизма

Если бы хиггсовское взаимодействие не нарушило электрослабую симметрию на электрослабом масштабе, то SU(2) слабое взаимодействие обладало бы свойством конфайнмента^[16].

Примечания

Bound state - Oxford Reference (неопр.). Дата обращения: 6 мая 2024. Архивировано 13 ноября 2023 года.
Blanchard, Philippe. Mathematical Methods in Physics / Philippe Blanchard, Erwin Brning. — Birkhuser, 2015. — P. 430. — ISBN 978-3-319-14044-5.
Sakurai, Jun. 7.8 // Modern Quantum Mechanics / Tuan. — Revised. — Reading, Mass : Addison-Wesley, 1995. — P. 418–9. — «Suppose the barrier were infinitely high ... we expect bound states, with energy E > 0. ... They are stationary states with infinite lifetime. In the more realistic case of a finite barrier, the particle can be trapped inside, but it cannot be trapped forever. Such a trapped state has a finite lifetime due to quantum-mechanical tunneling. ... Let us call such a state quasi-bound state because it would be an honest bound state if the barrier were infinitely high.». — ISBN 0-201-53929-2.
Gallagher, Thomas F. Oscillator strengths and lifetimes // Rydberg Atoms. — 1. — Cambridge University Press, 1994-09-15. — P. 38–49. — ISBN 978-0-521-38531-2. — doi:10.1017/cbo9780511524530.005.
K. Winkler; G. Thalhammer; F. Lang; R. Grimm; J. H. Denschlag; A. J. Daley; A. Kantian; H. P. Buchler; P. Zoller (2006). Repulsively bound atom pairs in an optical lattice. Nature. 441 (7095): 853–856. arXiv:cond-mat/0605196. Bibcode:2006Natur.441..853W. doi:10.1038/nature04918. PMID 16778884. S2CID 2214243.
Reed, M. Methods of Modern Mathematical Physics: I: Functional analysis / M. Reed, B. Simon. — Academic Press, 1980. — P. 303. — ISBN 978-0-12-585050-6.
Simon, B. An Overview of Rigorous Scattering Theory (неопр.) 3 (1978).
Hall, Brian C. Quantum theory for mathematicians. — New York Heidelberg$fDordrecht London : Springer, 2013. — P. 316—320. — ISBN 978-1-4614-7115-8.
Berezin, F. A. The Schrdinger equation. — Dordrecht ; Boston : Kluwer Academic Publishers, 1991. — P. 64–66. — ISBN 978-0-7923-1218-5.
Claudson, M.; Farhi, E.; Jaffe, R. L. (1 августа 1986). Strongly coupled standard model. Physical Review D. 34 (3): 873–887. Bibcode:1986PhRvD..34..873C. doi:10.1103/PhysRevD.34.873. PMID 9957220.

Литература

Blanchard, Philippe. Some Applications of the Spectral Representation // Mathematical Methods in Physics: Distributions, Hilbert Space Operators, Variational Methods, and Applications in Quantum Physics : [] / Philippe Blanchard, Edward Brning. — 2nd. — Switzerland : Springer International Publishing, 2015. — P. 431. — ISBN 978-3-319-14044-5.
Gustafson, Stephen J. Spectrum and Dynamics // Mathematical Concepts of Quantum Mechanics : [] / Stephen J. Gustafson, Israel Michael Sigal. — 2nd. — Berlin, Heidelberg : Springer-Verlag, 2011. — P. 50. — ISBN 978-3-642-21865-1.
Ruelle, David (9 января 2016). A Remark on Bound States in Potential-Scattering Theory (PDF). Nuovo Cimento A. 61 (June 1969): 655–662. doi:10.1007/BF02819607. S2CID 56050354. Дата обращения: 27 декабря 2021.