Меню Главная Случайная статья Настройки Спектральная теорема Материал из https://ru.wikipedia.org Спектральная теорема — класс теорем о матрицах линейных операторов, дающих условия, при которых такие матрицы могут быть диагонализированы, то есть представлены в виде диагональной матрицы в некотором базисе. Эти теоремы позволяют свести вычисления, включающие диагонализируемые матрицы к гораздо более простым вычислениям, использующим соответствующие диагональные матрицы. Понятие диагонализации, достаточно простое для случая конечномерных векторных пространств, требует некоторых уточнений при переходе к бесконечномерным векторным пространствам. Вообще говоря, спектральная теорема выделяет класс линейных операторов, которые могут моделироваться так называемыми операторами умножения[англ.] — то есть операторами вида ${\displaystyle \phi \mapsto f\phi }$ для фиксированной функции ${\displaystyle f}$. Более абстрактно, спектральная теорема является утверждением о коммутативных ${\displaystyle C^{*}}$-алгебрах. Примерами операторов, к которым может быть применена спектральная теорема являются самосопряжённые операторы или, более общо, — нормальные операторы в гильбертовых пространствах. Спектральная теорема также даёт каноническое разложение объемлющего векторного пространства, называемое спектральным разложением или разложением по собственным значениям. Содержание 1 Конечномерный случай 1.1 Спектральная теорема для Эрмитовых матриц 1.2 Спектральная теорема для унитарных матриц 1.3 Нормальные матрицы 2 Спектральная теорема для компактных самосопряжённых операторов 3 Спектральная теорема для ограниченных самосопряжённых операторов 4 Спектральная теорема для общих самосопряжённых операторов 5 Литература 6 Примечания Конечномерный случай Спектральная теорема для Эрмитовых матриц Для любой эрмитовой матрицы ${\displaystyle A}$ на конечномерном векторном пространстве ${\displaystyle V}$ верно[1]: Все собственные значения матрицы ${\displaystyle A}$ вещественны; Собственные вектора, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны; Собственные вектора образуют ортогональный базис для всего пространства ${\displaystyle V}$. Лемма 1: для любых векторов ${\displaystyle \mathbf {y} \in V}$ и ${\displaystyle \mathbf {z} \in V}$ верно: ${\displaystyle (A\mathbf {y} ,\mathbf {z} )=(\mathbf {y} ,A\mathbf {z} )}$ Доказательство леммы 1: По определению: ${\displaystyle A=A^{*}}$ Следовательно: ${\displaystyle (A\mathbf {y} ,\mathbf {z} )=(Ay)^{*}z=y^{*}Az=(y,Az)}$ Доказательство утверждения 1. Докажем, что все собственные значения матрицы ${\displaystyle A}$ вещественны. Рассмотрим ${\displaystyle \lambda }$ - собственное значение матрицы ${\displaystyle A}$. Тогда, по определению собственного значения, существует вектор ${\displaystyle (\mathbf {x} \in V)\neq 0}$, для которого ${\displaystyle A\mathbf {x} =\lambda \mathbf {x} }$. Скалярно умножим обе части этого равенства на ${\displaystyle \mathbf {x} }$: ${\displaystyle (A\mathbf {x} ,\mathbf {x} )=(\lambda \mathbf {x} ,\mathbf {x} )}$ По определению скалярного произведения: ${\displaystyle (\lambda \mathbf {x} ,\mathbf {x} )={\overline {(\mathbf {x} ,\lambda \mathbf {x} )}}={\overline {\lambda }}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )\qquad (1)}$ С другой стороны, применяя лемму 1 к ${\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {z} =\mathbf {x} }$, получаем: ${\displaystyle (A\mathbf {x} ,\mathbf {x} )=(\mathbf {x} ,A\mathbf {x} )=(\mathbf {x} ,\lambda \mathbf {x} )=\lambda (\mathbf {x} ,\mathbf {x} )\qquad (2)}$ Из равенств ${\displaystyle (1)}$ и ${\displaystyle (2)}$ следует: ${\displaystyle {\overline {\lambda }}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )=\lambda (\mathbf {x} ,\mathbf {x} )}$ Поскольку для любого ${\displaystyle (\mathbf {x} \in V)\neq 0}$ верно ${\displaystyle (\mathbf {x} ,\mathbf {x} )\neq 0}$, то: ${\displaystyle {\overline {\lambda }}=\lambda }$ что означает ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$. Доказательство утверждения 2. Докажем, что собственные вектора, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. Рассмотрим два различных собственных значения ${\displaystyle \lambda \neq \mu }$. Тогда: ${\displaystyle A\mathbf {x} =\lambda \mathbf {x} ,\quad A\mathbf {y} =\mu \mathbf {y} }$ где ${\displaystyle \mathbf {x} }$ и ${\displaystyle \mathbf {y} }$ - собственные вектора. Умножим первое равенство на ${\displaystyle \mathbf {y} }$, а также применим лемму 1 и доказанный выше факт, что собственные значения вещественны, ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$. В результате получим: ${\displaystyle \lambda (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=(\lambda \mathbf {x} ,\mathbf {y} )=(A\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=(\mathbf {x} ,A\mathbf {y} )=(\mathbf {x} ,\mu \mathbf {y} )=\mu (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )}$ Исходя из ${\displaystyle \lambda \neq \mu }$ получаем, что ${\displaystyle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=0}$, то есть иными словами - вектора ${\displaystyle \mathbf {x} }$ и ${\displaystyle \mathbf {y} }$ ортогональны. Доказательство утверждения 3. Докажем что собственные вектора образуют базис для всего пространства ${\displaystyle V}$ Пусть ${\displaystyle \lambda _{1}}$, собственное значение матрицы ${\displaystyle A}$, и соответствующий ему собственный вектор ${\displaystyle \mathbf {x_{1}} }$. Рассмотрим ${\displaystyle V_{1}}$ - множество всех векторов из ${\displaystyle V}$, ортогональных ${\displaystyle \mathbf {x_{1}} }$. Поскольку для любого ${\displaystyle \mathbf {x} \in V_{1}}$ верно что ${\displaystyle (\mathbf {x_{1}} ,\mathbf {x} )=0}$, то согласно лемме 1: ${\displaystyle (\mathbf {x_{1}} ,A\mathbf {x} )=(A\mathbf {x_{1}} ,\mathbf {x} )=\lambda _{1}(\mathbf {x_{1}} ,\mathbf {x} )=0}$ Следовательно, ${\displaystyle \mathbf {Ax} \in V_{1}}$. Линейный оператор ${\displaystyle L(\mathbf {x} )=Ax}$, будучи ограниченным множеством ${\displaystyle V_{1}}$, также является эрмитовым, имеет собственное значение ${\displaystyle \lambda _{2}}$ и соответствующий собственный вектор ${\displaystyle \mathbf {x_{2}} }$. По определению ${\displaystyle \mathbf {x} _{2}}$ ортогонален ${\displaystyle \mathbf {x} _{1}}$. Рассмотрим множество ${\displaystyle V_{2}}$ - множество векторов, ортогональных одновременно ${\displaystyle \mathbf {x} _{1}}$ и ${\displaystyle \mathbf {x} _{2}}$. Аналогичным образом линейный оператор ${\displaystyle L(\mathbf {x} )=Ax}$ отображает ${\displaystyle V_{2}}$ на себя. Продолжая подобным образом мы можем найти последовательность ${\displaystyle \lambda _{k}}$, ${\displaystyle \mathbf {x} _{k}}$, а также подпространства ${\displaystyle V_{k}}$, содержащие ${\displaystyle \mathbf {x} _{k}}$ и при этом ортогональные векторам ${\displaystyle \mathbf {x} _{1},...,\mathbf {x} _{k-1}}$. Последовательность завершится на шаге ${\displaystyle n}$, поскольку ${\displaystyle \dim V_{k}=n-k}$. Таким образом собственные вектора ${\displaystyle \mathbf {x} _{1},...,\mathbf {x} _{n}}$ образуют ортогональный базис для всего пространства ${\displaystyle V}$ Спектральная теорема для унитарных матриц Для любой унитарной матрицы ${\displaystyle U}$ на конечномерном векторном пространстве ${\displaystyle V}$ верно[1]: Все собственные значения матрицы ${\displaystyle A}$ имеют абсолютные величины, равные ${\displaystyle 1}$; Собственные вектора, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны; Собственные вектора образуют ортогональный базис для всего пространства ${\displaystyle V}$.