Ru.Wikipedia.Org - Нормальный оператор

Если оператор $N$ нормален, то операторы $N^{*}$ , $\alpha N+\beta I,\,\alpha ,\beta \in \mathbb {C}$ , а также обратный оператор $N^{-1}$ (если он существует), тоже нормальны.^[2]
Линейный непрерывный оператор $N$ в гильбертовом пространстве $H$ нормален тогда и только тогда, когда $\|Nx\|=\|N^{*}x\|$ для каждого $x\in H$ .
${\mbox{Ker}}\,N={\mbox{Ker}}\,N^{*}={\mbox{Im}}\,N^{\perp }$ . Здесь ${\mbox{Ker}}\,N$ — ядро, ${\mbox{Im}}\,N$ — образ оператора $N$ .
Если $Nx=\alpha x$ при некотором $x\in H$ и $\alpha \in \mathbb {C}$ , то $N^{*}x={\bar {\alpha }}x$ .
Собственные подпространства, соответствующие различным собственным значениям нормального оператора, ортогональны^[3].
Теорема о перестановочности. Пусть $M,N,T$ — линейные непрерывные операторы, причем операторы $M$ и $N$ нормальны. Если $MT=TN$ , то $M^{*}T=TN^{*}$ . В частности, если оператор $T$ перестановочен с нормальным оператором $N$ , то он перестановочен и с сопряжённым $N^{*}$ .^[4]
$\|N\|=\sup\{|(Nx,x)|\colon x\in H,\,\|x\|\leq 1\}$ ^[5]
Нормальный оператор является самосопряжённым тогда и только тогда, когда его спектр лежит на вещественной оси. Нормальный оператор является унитарным тогда и только тогда, когда его спектр лежит на единичной окружности.^[6]
Подобные нормальные операторы унитарно эквивалентны, то есть если $M=TNT^{-1}$ , где $M,N$ — нормальные операторы, а оператор $T$ обратим, то $M=UNU^{-1}$ , где $U$ — унитарный оператор.^[7]
$\|N^{m}\|=\|N\|^{m}$ , следовательно, спектральный радиус нормального оператора совпадает с его нормой.^[2]

Спектральная теорема

Любому нормальному оператору $N$ соответствует семейство проекционных операторов $\{E(\delta )\}$ , являющихся аддитивной и мультипликативной функцией прямоугольника, таким образом, что

N=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }zE(dxdy),\quad N^{*}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\bar {z}}E(dxdy),

и вообще

q(N,N^{*})=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }q(z,{\bar {z}})E(dxdy),

где $q(z,{\bar {z}})$ — произвольный многочлен от $z=x+iy$ и ${\bar {z}}=x-iy$ ; при любом фиксированном прямоугольнике $\delta$ оператор $E(\delta )$ является пределом некоторой последовательности многочленов от операторов $N$ и $N^{*}$ ^[8].

На основе спектрального разложения нормальных операторов строится функциональное исчисление для функций

f(N)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(z)E(dxdy).

^[9]

Случай конечномерного пространства

В конечномерном унитарном пространстве в ортонормированном базисе нормальному оператору отвечает нормальная матрица. Нормальный оператор также обладает следующими свойствами.

Линейный оператор тогда и только тогда является нормальным, когда он имеет ортонормированную систему собственных векторов.
Для нормального оператора $N$ каждый из операторов $N$ и $N^{*}$ представим в виде многочлена от другого из операторов; при этом эти два многочлена определяются заданием собственных значений оператора $N$ .
Если $S$ — инвариантное подпространство относительно оператора $N$ , то его ортогональное дополнение $S^{\perp }$ тоже является инвариантным подпространством для $N$ .
Матрица $N$ является нормальной тогда и только тогда, когда она унитарно-подобна диагональной матрице, то есть $N=UDU^{-1},$ где $U$ — унитарная матрица, $D$ — диагональная матрица.^[10]

Неограниченные операторы

Понятие нормального оператора обобщается на неограниченные операторы. Линейный оператор

N

(не обязательно ограниченный) в гильбертовом пространстве

H

называется нормальным, если его область определения

D(N)

плотна в

H

, он замкнут и удовлетворяет условию

N^{*}N=NN^{*}

. Для нормального оператора

D(N^{*})=D(N)

\|Nx\|=\|N^{*}x\|

для любого

x\in D(N)

. Обобщаются и некоторые другие свойства нормального оператора, в том числе спектральная теорема.^[11]

См. также

Примечания

Литература

Соболев В. И. Нормальный оператор // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1982. — Т. 3: Коо — Од. — 1184 стб. : ил. — 150 000 экз.