Меню Главная Случайная статья Настройки Степень многочлена Материал из https://ru.wikipedia.org Степенью многочлена одной комплексной переменной называется количество всех его корней с учётом их кратности. Из основной теоремы алгебры и из следствия теоремы Безу следует, что любой многочлен p(x) степени n возможно представить в виде a(x  x1)…(x  xn), где x1, …, xn — это все комплексные корни многочлена с учётом кратности, а константа a  0 — старший коэффициент многочлена. Раскрыв скобки в выражении a(x  x1)…(x  xn), можно получить эквивалентное определение: степень многочлена одной переменной — это максимальная из степеней всех его слагаемых-одночленов, тождественно не равных нулю. Это определение имеет обобщение: полная степень многочлена с несколькими переменными — это максимальная из степеней всех его одночленов, тождественно не равных нулю, относительно всех переменных, участвующих в них, одновременно. Многочленное уравнение d переменных, которое с помощью равносильных преобразований можно привести к виду p(x1,…,xd) = 0, где полином p(x1, …, xd) имеет степень n, называется (многочленным) уравнением степени n. Степень полинома обозначается deg (англ. degree, фр. degr, от лат. gradus + de-).[1] Содержание 1 Названия определённых степеней 2 Примеры 3 Степень многочлена при операциях над ними 3.1 Умножение 3.2 Сложение, вычитание 3.3 Композиция 4 Степень многочлена нескольких переменных 5 Степень нулевого многочлена 6 Примечания 7 Ссылки Названия определённых степеней Степень многочлена, тождественно равного нулю, не определена, но в некоторых случаях её принимают равной 1 или (ниже).[2] Степень константы, не равной нулю, — 0. Степень линейного многочлена — 1. Уравнение, в котором линейная функция приравнивается нулю, — уравнение 1-й степени. Степень квадратного многочлена — 2. Соответствующее уравнение — уравнение 2-й степени. Степень кубического многочлена — 3. Ему соответствует уравнение 3-й степени. В d-мерном евклидовом пространстве (d  1)-мерная поверхность, являющаяся решением уравнения p(x1,…,xd) = 0 степени n с декартовыми координатами x1, …, xd, называется (d  1)-мерной поверхностью n-го порядка. Термин порядок фактически означает степень уравнения. Отдельные названия гиперповерхностей: квадрика — гиперповерхность второго порядка. В одномерном случае квадрика представляет собой конику — плоскую кривую, один из эквивалентных способов получить которую — пересечь прямой круговой конус плоскостью; кубика — гиперповерхность третьего порядка. Примеры плоских кубик: кубика Чирнгауза, полукубическая парабола; квартика — гиперповерхность 4-го порядка: например, квартика Люрота. Примеры Многочлен x(x  2) имеет вторую степень, так как он состоит из двух линейных сомножителей. У многочлена (2x  1)(3x  2) коэффициенты 2 и 3 можно вынести за скобки: 2  3(x 1/2)(x У многочлена 16x5 + (20)x3 + 5x + (1) одночлен с наибольшей степенью — это 16x5, а значит, степень многочлена равна 5. Многочлены могут быть записаны в неканоническом виде: например, полином (x2 + 1)2 (x2 + 1)2 имеет степень 2, так как он представляет собой одночлен 4x2. 2(2x  y)xy является многочленом третьей степени. Многочлен x2 + y имеет вторую степень, поскольку одночлен с наибольшей степенью равен x2, причём этот многочлен уже нельзя разложить на линейные множители от x и y. Степень многочлена xy + y + x равна 2. Степень многочлена при операциях над ними Умножение При умножении ненулевого многочлена p(x) на ненулевую константу c степень не изменяется: ${\displaystyle \deg {\big (}cp(x){\big )}=\deg p(x).}$ Например, степень полинома 6(x ${\displaystyle \deg {\big (}p(x)q(x){\big )}=\deg p(x)+\deg q(x).}$ К примеру, степень многочлена (x2 + 1)(x3  x  1) = x5  x2  x  1 равна 2 + 3 = 5. Сложение, вычитание Степень суммы ненулевых многочленов не может быть больше максимальной из их степеней:[5][6] ${\displaystyle \deg {\big (}p(x)+q(x){\big )}\leqslant \max {\big (}{\deg }~p(x),\deg q(x){\big )}.}$ То же самое неравенство верно и для разности: ${\displaystyle \deg {\big (}p(x)-q(x){\big )}\leqslant \max {\big (}{\deg }~p(x),\deg(-1\cdot q(x)){\big )}=\max {\big (}{\deg }~p(x),\deg q(x){\big )}.}$ При этом если степени многочленов-слагаемых различаются, то вышенаписанные соотношения обращаются в равенства. Например, многочлен (x2 + 1)2 имеет четвёртую степень, (x + 1)2 — вторую, а многочлены (x2 + 1)2 ± (x + 1)2 — 4-ю. Композиция Пусть p(x) и q(x) — ненулевые многочлены. Тогда:[7] ${\displaystyle \deg[q\circ p(x)]=\deg[p\circ q(x)]=\deg p(x)\deg q(x).}$ Например, если p(x) = x2 + 1, q(x) = x3 + 1, то степени многочленов p  q(x) = x6 + 2x3 + 2 и q  p(x) = x6 + 3x4 + 3x2 + 2 равны 2  3 = 6. Степень многочлена нескольких переменных Как и в случае с одной переменной, (полная) степень одночлена нескольких переменных — сумма всех показателей степеней всех переменных в одночлене. К примеру, полная степень одночлена x1y2x3 относительно x и y равна 1 + 2 + 3 = 6. В свою очередь, (полная) степень многочлена нескольких переменных — это максимальная из степеней всех его одночленов. Пример: многочлен xy + y + x имеет степень 2, так как одночлен с наибольшей степенью — xy. Помимо этого, степень многочлена нескольких переменных может также рассматриваться относительно одной из переменных. Например, полином x2 + y2 + xy + x + y имеет 2-ю степень относительно x и ту же степень относительно y. Причём относительно x этот полином раскладывается на комплексные линейные множители так: ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+xy+x+y=\left(x-{\tfrac {-y-1-{\sqrt {(y+1)(-3y+1)}}}{2}}\right)\left(x-{\tfrac {-y-1+{\sqrt {(y+1)(-3y+1)}}}{2}}\right),}$ а относительно y: ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+xy+x+y=\left(y-{\tfrac {-x-1-{\sqrt {(x+1)(-3x+1)}}}{2}}\right)\left(y-{\tfrac {-x-1+{\sqrt {(x+1)(-3x+1)}}}{2}}\right).}$ Иногда на степень полинома относительно конкретной переменной могут влиять другие переменные: например, полином (x2 + 1)y2 + (x + 1)y + 1 четвёртой степени является квадратным относительно y, только если x не равняется ±i, — в противном случае одночлен (x2 + 1)y2 обратится в нуль и многочлен станет линейным: его нельзя будет разложить на два линейных множителя (относительно y). Степень нулевого многочлена Степень многочлена, равного 0 при любом значении переменной(-ых), считается либо неопределённой[8], либо отрицательной — как правило, 1[9] или .[2][10] В случае, когда степень такого многочлена не определена, полагают, что нулевой многочлен, строго говоря, вообще не имеет никаких одночленов-слагаемых, которые тождественно не равнялись бы нулю. Соответственно, для нулевого многочлена совсем не вводятся никакие вышенаписанные свойства степеней при преобразовании многочленов. При этом в случае, когда степень нулевого полинома принимают равной , сохраняются все свойства, приведённые выше, исключая, быть может, композицию. Для любого вещественного числа n по определению выполняются следующие свойства (свойства аффинно расширенной числовой прямой): ${\displaystyle \max(-\infty ,n)=n;}$ ${\displaystyle -\infty +n=-\infty .}$[10] Соответственно, сами степени многочленов «ведут себя» следующим образом: если p(x) — ненулевой многочлен степени n, то ${\displaystyle \deg(p(x)+0)=\deg p(x)=n\leqslant \max(\deg p(x),\deg 0)=\max(n,-\infty )=n;}$ ${\displaystyle \deg(p(x)\cdot 0)=\deg 0=-\infty ,}$ а с другой стороны, ${\displaystyle \deg p(x)+\deg 0=n-\infty =-\infty .}$ Примечания Eric W. Weisstein. Polynomial Degree (англ.). mathworld.wolfram.com. Дата обращения: 28 мая 2021. Архивировано 3 июня 2021 года. 1 2 Eric W. Weisstein. Zero Polynomial (англ.). mathworld.wolfram.com. Дата обращения: 28 мая 2021. Архивировано 1 мая 2021 года. Serge Lang. Algebra. — 3. — New York: Springer-Verlag, 2002. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-0-387-95385-4. Серж Ленг. Алгебра. — Springer, 2005. — С. 100. — ISBN 978-0-387-95385-4. abstract algebra - The degree of a sum of two polynomials (proof question)  (неопр.). Mathematics Stack Exchange. Дата обращения: 28 мая 2021. Degree of sum of polynomials - TheoremDep  (неопр.). sharmaeklavya2.github.io. Дата обращения: 28 мая 2021. Архивировано 20 января 2021 года. algebra precalculus - What's polynomial composition useful for?  (неопр.) Mathematics Stack Exchange. Дата обращения: 28 мая 2021. Шафаревич, Игорь Ростиславович. Лекции по алгебре. — С. 25. Архивировано 2 июня 2021 года. Чайлдс, Линдсей. Конкретное введение в высшую алгебру. — 1995. — С. 233. Архивировано 2 июня 2021 года. 1 2 Чайлдс, Линдсей. Конкретное введение в высшую алгебру.. — 2009. Архивировано 2 июня 2021 года. Ссылки https://mathworld.wolfram.com/PolynomialDegree.html https://www.mathsisfun.com/algebra/degree-expression.html