Меню Главная Случайная статья Настройки Суперфакториал Материал из https://ru.wikipedia.org Суперфакториал — функция, определённая на множестве неотрицательных целых чисел. В математике, в частности в теории чисел, существует несколько определений суперфакториала. Содержание 1 Определение Нила Слоана и Саймона Плаффа 2 Таблица значений 3 Свойства 3.1 Рекуррентная формула 3.2 Связь с G-функцией Барнса 3.3 Другие свойства 4 Определение Клиффорда А. Пиковера 5 См. также 6 Примечания 7 Ссылки ОпределениеНила Слоанаи Саймона Плаффа Суперфакториал Нила Слоана и Саймона Плаффа положительного целого числа, обозначаемый ${\displaystyle \operatorname {sf} (n)}$, — это произведение вида ${\displaystyle \operatorname {sf} (n)=\prod _{k=1}^{n}k!=1!\cdot 2!\cdot 3!\cdot \ldots \cdot n!}$. Следуя обычному соглашению для пустого произведения, ${\displaystyle \operatorname {sf} (0)=1}$. Таблица значений ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \operatorname {sf} (n)}$ 0 1 1 1 2 2 3 12 4 288 5 34 560 6 24 883 200 7 125 411 328 000 8 5 056 584 744 960 000 9 1 834 933 472 251 084 800 000 10 6 658 606 584 104 736 522 240 000 000 11 265 790 267 296 391 946 810 949 632 000 000 000 12 127 313 963 299 399 416 749 559 771 247 411 200 000 000 000 13 792 786 697 595 796 795 607 377 086 400 871 488 552 960 000 000 000 000 14 69 113 789 582 492 712 943 486 800 506 462 734 562 847 413 501 952 000 000 000 000 000 15 90 378 331 112 371 142 262 979 521 568 630 736 335 023 247 731 599 748 366 336 000 000 000 000 000 000 Свойства Рекуррентная формула Суперфакториал может быть задан рекуррентной формулой[1]: ${\displaystyle \operatorname {sf} (n)={\begin{cases}1&n=0,\\n!\cdot \operatorname {sf} (n-1)&n>0.\end{cases}}}$ Связь с G-функцией Барнса Суперфакториал связан с G-функцией Барнса от целочисленного аргумента соотношением[2] ${\displaystyle G(n+2)=\operatorname {sf} (n)}$ G-функция была введена для обобщения понятия cуперфакториал на множество комплексных чисел, по аналогии с гамма-функцией, которая обобщает факториал. В отличие от гамма-функции, у которой смещение от факториала равное 1, G-функция Барнса имеет смещение от суперфакториала равное 2. Другие свойства Согласно аналогу теоремы Вильсона о поведении факториалов по модулю простых чисел, для нечётного простого ${\displaystyle p}$: ${\displaystyle \operatorname {sf} (p-1)\equiv (p-1)!!{\pmod {p}}}$, где ${\displaystyle !!}$ — двойной факториал.[3] Для любого целого ${\displaystyle k}$, выражение ${\displaystyle {\frac {\operatorname {sf} (4k)}{2k!}}}$ всегда равняется числу в квадрате.[2] ${\displaystyle \operatorname {sf} (n)={\frac {(n!)^{n+1}}{\operatorname {H} (n)\cdot }}}$, где ${\displaystyle \operatorname {H} (n)}$ - гиперфакториал Определение Клиффорда А. Пиковера Суперфакториал Клиффорда А. Пиковера положительного целого числа, обозначаемый ${\displaystyle n\$}$, — это выражение вида ${\displaystyle n\$={\begin{matrix}\underbrace {n!^{{n!}^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^{n!}}}}}} \\n!{\text{ раз}}\end{matrix}}}$ Суперфакториал Клиффорда А. Пиковера определяется в виде тетрации ${\displaystyle n\$={}^{n!}n!}$ Данный суперфакториал является быстро растущей функцией, и принимает большие значения уже при ${\displaystyle n=3}$ Некоторые значения суперфакториала Клиффорда А. Пиковера ${\displaystyle 1\$={}^{1!}1!={}^{1}1=1=1}$ ${\displaystyle 2\$={}^{2!}2!={}^{2}2=2^{2}=4}$ ${\displaystyle 3\$={}^{3!}3!={}^{6}6=6^{6^{6^{6^{6^{6}}}}}}$ См. также Факториал G-функция Барнса Гиперфакториал Примечания Рекуррентная формула // ВОУНБ. 1 2 White, D.; Anderson, M. (Октябрь 2020), Using a superfactorial problem to provide extended problem-solving experiences, PRIMUS, 31 (10): 1038–1051, doi:10.1080/10511970.2020.1809039, S2CID 225372700 Ссылки Суперфакториал на mathworld