Меню Главная Случайная статья Настройки Сферический дизайн Материал из https://ru.wikipedia.org Сферическая дизайн — набор из ${\displaystyle N}$ точек на d-мерной сфере ${\displaystyle \mathbb {S} ^{d}}$, такой, что среднее значение любого многочлена ${\displaystyle f}$ степени ${\displaystyle t}$ или меньше по точкам набора равно среднему значению ${\displaystyle f}$ по сфере. Эта конструкция даёт особый тип кубатурных формул. Сферические дизайны полезны в теории приближений, в статистике для проектирования экспериментов, в комбинаторике и в геометрии. Основная вопрос в нахождении примеров для данных ${\displaystyle d}$ и ${\displaystyle t}$, при не слишком большом ${\displaystyle N}$. Содержание 1 Существование 2 См. также 3 Внешние ссылки 4 Примечания 5 Ссылки Существование Существование и структура дизайнов на окружности изучались Хонгом[1]. Вскоре после этого Сеймур и Заславский[2] доказали, существование дизайнов с достаточно большим числом точек. То есть при заданных натуральных числах ${\displaystyle d}$ и ${\displaystyle t}$ существует число ${\displaystyle N(d,t)}$, такое, что для каждого ${\displaystyle N\geqslant N(d,t)}$ на ${\displaystyle \mathbb {S} ^{d}}$ найдётся сферический ${\displaystyle t}$-дизайн из ${\displaystyle N}$ точек. Однако их доказательство не позволяло явно оценить значение ${\displaystyle N(d,t)}$. В 2013 году Бондаренко, Радченко и Вязовская [3] получили асимптотическую верхнюю границу ${\displaystyle N(d,t)<C_{d}t^{d}}$ для всех натуральных чисел ${\displaystyle d}$ и ${\displaystyle t}$. Она соответствует нижней границе, первоначально заданной Дельсартом, Геталсом и Зайделем. См. также Задача Томсона Внешние ссылки Сферические t-дизайны для различных значений ${\displaystyle N}$ и ${\displaystyle t}$ можно найти на веб-сайте Нила Слоуна и Роберта Уомерсли. Примечания Hong, 1982. Seymour, Zaslavsky, 1984. Bondarenko, Radchenko, Viazovska, 2013. Ссылки Bondarenko, Andriy; Radchenko, Danylo; Viazovska, Maryna (2013), Optimal asymptotic bounds for spherical designs, Annals of Mathematics, Second Series, 178 (2): 443–452, arXiv:1009.4407, doi:10.4007/annals.2013.178.2.2, MR 3071504, S2CID 2490453.