Меню Главная Случайная статья Настройки Теорема Аполлония Материал из https://ru.wikipedia.org В планиметрии теорема Аполлония является формулой, выражающей длину медианы треугольника через его стороны. В частности, если в каком-либо треугольнике ABC медиана AD, то ${\displaystyle AB^{2}+AC^{2}=2(AD^{2}+BD^{2}).}$ Это частный случай теоремы Стюарта. Для равнобедренного треугольника теорема сводится к теореме Пифагора. Из факта, что диагонали параллелограмма делят друг друга пополам, можно доказать, что теорема эквивалентна тождеству параллелограмма. Теорема называется в честь Аполлония Пергского. Содержание 1 Доказательство 2 См. также 3 Примечания 4 Источники Доказательство Теорема может быть доказана как особый случай теоремы Стюарта или с помощью векторов (см. тождество параллелограмма). Ниже приводится независимое доказательство, использующее теорему косинусов[1]. Пусть стороны треугольника a, b, c, а медиана d проведена к стороне a треугольника. Пусть m — длина отрезков a, образованных медианой, то есть m составляет половину a. Пусть углы между a и d — и , где содержит b и содержит c. Затем, является смежным углом к и cos = cos . Теорема косинусов для и гласит: ${\displaystyle {\begin{aligned}b^{2}&=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta \\c^{2}&=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta '=\\&=m^{2}+d^{2}+2dm\cos \theta .\,\end{aligned}}}$ Сложив эти уравнения, получим ${\displaystyle b^{2}+c^{2}=2m^{2}+2d^{2}}$ как и требовалось. См. также Теорема Стюарта Задача Аполлония Примечания Согласно Godfrey & Siddons, 1908 Источники Charles Godfrey, Arthur Warry Siddons. Modern Geometry. — University Press, 1908. — P. 20. Apollonius Theorem (англ.) на сайте PlanetMath.