Ru.Wikipedia.Org - Теорема Стюарта

Меню
Главная
Случайная статья
Настройки

Теорема Стюарта
Материал из https://ru.wikipedia.org

Теорема Стюарта — метрическая теорема в евклидовой планиметрии.

Она утверждает, что если точка

D

лежит на стороне

BC

треугольника

ABC

, то

AD^{2}=p^{2}=b^{2}{\frac {x}{a}}+c^{2}{\frac {y}{a}}-{xy},

где

y=CD

x=BD

a=x+y=BC

(рис. 1). Отрезок AD называется чевианой треугольника ABC.

Содержание

Доказательства

Через произведение векторов

Одно из доказательств теоремы основано на применении векторной алгебры и, в частности, свойств скалярного произведения^[1]. Представим вектор

{\overrightarrow {AD}},

длина которого искома, двумя способами:

{\overrightarrow {AD}}={\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BD}},\quad {\overrightarrow {AD}}={\overrightarrow {AC}}+{\overrightarrow {CD}}.

Первое уравнение домножим на длину

CD

, а второе — на

BD\colon

{\overrightarrow {AD}}\cdot CD={\overrightarrow {AB}}\cdot CD+{\overrightarrow {BD}}\cdot CD,

{\overrightarrow {AD}}\cdot BD={\overrightarrow {AC}}\cdot BD+{\overrightarrow {CD}}\cdot BD.

Теперь сложим полученные уравнения:

{\overrightarrow {AD}}\cdot BC=({\overrightarrow {AB}}\cdot CD~{\color {Red}+~{\overrightarrow {BD}}\cdot CD})+({\overrightarrow {AC}}\cdot BD~{\color {Red}+~{\overrightarrow {CD}}\cdot BD}),

где

{\overrightarrow {BD}}\cdot CD+{\overrightarrow {CD}}\cdot BD=0,

так как

{\overrightarrow {BD}}\cdot CD

{\overrightarrow {CD}}\cdot BD

имеют равные длины и противоположны. Следовательно, сам вектор

{\overrightarrow {AD}}

равен

{\overrightarrow {AD}}={\overrightarrow {AB}}{\frac {CD}{BC}}+{\overrightarrow {AC}}{\frac {BD}{BC}}.

Его длину можно получить с помощью скалярного произведения вектора

{\overrightarrow {AD}}

на самого себя:

\left({\overrightarrow {AD}}\right)^{2}=\left({\overrightarrow {AB}}\right)^{2}\left({\frac {CD}{BC}}\right)^{2}+\left({\overrightarrow {AC}}\right)^{2}\left({\frac {BD}{BC}}\right)^{2}+{\color {Green}2{\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AC}}}\cdot {\frac {CD}{BC}}\cdot {\frac {BD}{BC}}.

Далее, чтобы выразить

2{\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AC}}

через длины, нужно найти

({\overrightarrow {AB}}-{\overrightarrow {AC}})^{2}\colon

{\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {AC}}-{\overrightarrow {AB}},

BC^{2}=AC^{2}-2{\overrightarrow {AC}}\cdot {\overrightarrow {AB}}+AB^{2},

2{\overrightarrow {AC}}\cdot {\overrightarrow {AB}}=AC^{2}+AB^{2}-BC^{2}.

Отсюда окончательно получается, что

AD^{2}=AB^{2}{\frac {CD^{2}}{BC^{2}}}+AC^{2}{\frac {BD^{2}}{BC^{2}}}+({\color {Green}AC^{2}+AB^{2}-BC^{2}}){\frac {CD}{BC}}\cdot {\frac {BD}{BC}},

$AD^{2}=AB^{2}\cdot {\frac {CD}{BC}}+AC^{2}\cdot {\frac {BD}{BC}}-CD\cdot BD.$

Через теорему косинусов

Выразим AB и AC через остальные стороны треугольников ABD и ACD и через углы

\angle ADB

\angle ADC,

смежные друг другу:

AB^{2}=BD^{2}+AD^{2}-2AD\cdot BD\cos \angle ADB,

{\begin{alignedat}{2}AC^{2}&=AD^{2}+DC^{2}~{\color {Green}-}~2AD\cdot DC\cos \angle AD{\color {Green}C}=\\&=AD^{2}+DC^{2}~{\color {Green}+}~2AD\cdot DC\cos \angle AD{\color {Green}B}.\\\end{alignedat}}

Умножим первое уравнение на

DC

, а второе — на

BD\colon

{\begin{cases}AB^{2}DC=BD^{2}DC+AD^{2}DC-2AD\cdot BD\cdot DC\cos \angle ADB,\\AC^{2}BD=AD^{2}BD+DC^{2}BD+2AD\cdot DC\cdot BD\cos \angle ADB,\end{cases}}

Чтобы избавиться от косинуса угла ABD, сложим эти равенства:

AB^{2}DC+AC^{2}BD=(BD^{2}DC+AD^{2}DC)+(AD^{2}BD+DC^{2}BD),

AB^{2}DC+AC^{2}BD-BD^{2}DC-DC^{2}BD=AD^{2}(DC+BD),

AB^{2}DC+AC^{2}BD-BD\cdot DC(BD+DC)=AD^{2}(DC+BD),

$AB^{2}\cdot {\frac {CD}{BC}}+AC^{2}\cdot {\frac {BD}{BC}}-BD\cdot CD=AD^{2}.$

История

Теорема названа по имени доказавшего её английского математика М. Стюарта и опубликовавшего её в труде «Некоторые общие теоремы» (1746, Эдинбург). Теорему сообщил Стюарту его учитель Р. Симсон, который опубликовал эту теорему лишь в 1749 г.

Применение

Теорему можно использовать для нахождения медиан и биссектрис треугольников, и частный случай теоремы Стюарта, когда чевиана вырождается в медиану, — это теорема Аполлония.
Следствием теоремы Стюарта также является теорема Птолемея.^{[прояснить]}

Обобщение

Теорема Стюарта обобщается до равенства Бретшнайдера для четырёхугольника: если одна вершина четырёхугольника попадает на сторону четырёхугольника, то из теоремы Бретшнайдера следует теорема Стюарта.

Примечания

Погорелов А. В. Геометрия. — М.: Наука, 1983. — С. 30—31. — 288 с.

Литература

Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, И. И. Юдина. Геометрия. Дополнительные главы к учебнику 9 класс. 4-е изд. Изд-во Вита-Пресс, 2004. стр. 53.
В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, С. А. Шестаков, И. И. Юдина. Геометрия. Пособие для углубленного изучения математики. Изд-во ФИЗМАТЛИТ, 2005. 488 с. стр. 302—303.
Мантуров О. В., Солнцев Ю. К. Толковый словарь математических терминов. Пособие для учителей. Под редакцией Диткина В. А. М.: Просвещение, 1965. 540 с.