Меню Главная Случайная статья Настройки Теорема о разрезании квадрата на равновеликие треугольники Материал из https://ru.wikipedia.org Теорема о разрезании квадрата на равновеликие треугольники гласит, что квадрат невозможно разрезать на нечётное число треугольников одинаковой площади[1]. Теорема знаменита своим неожиданным доказательством, использующим 2-адическую норму. Содержание 1 История 2 О доказательстве 3 Вариации и обобщения 4 Примечания 5 Литература История Задача была поставлена Фредом Ричманом в «American Mathematical Monthly» в 1965 году и решена Паулем Монски в 1970 году[2]. О доказательстве Используя 2-адические числа, строится определённая раскраска точек единичного квадрата в три цвета. Главные свойства раскраски состоят в следующем: Площадь любого треугольника с вершинами разных цветов не может быть выражена дробью с нечётными числителем и знаменателем. В частности, если бы существовало разбиение квадрата на нечётное число равновеликих треугольников, то ни один из треугольников не имел бы вершин всех трёх цветов. Любая прямая окрашена ровно в два цвета. Это и некоторые другие свойства данной раскраски приводят к противоречию с леммой Шпернера. Вариации и обобщения ${\displaystyle N}$-мерный куб может быть разбит на симплексы одинакового объема, только если количество симплексов кратно ${\displaystyle N!}$[3][4]. Из доказательства теоремы также следует существование четырёхугольников, не допускающих разрезания на равновеликие треугольники. Для целого числа ${\displaystyle n\geqslant 5}$, правильный ${\displaystyle n}$-угольник допускает разрезание на ${\displaystyle m}$ равновеликих треугольников тогда и только тогда, когда ${\displaystyle m}$ делится на ${\displaystyle n}$[5]. Никакой зоногон не может быть разрезан на нечётное количество равных по площади треугольников. Этот факт был доказан тем же Паулем Монски после основной теоремы[6][7]. Примечания Martin Aigner, Gnter M. Ziegler. One square and an odd number of triangles // Proofs from The Book. — 4th. — Berlin, 2010. — С. 131–138. — ISBN 978-3-642-00856-6. — doi:10.1007/978-3-642-00856-6_20. P. Monsky. On Dividing a Square into Triangles (англ.) // The American Mathematical Monthly : journal. — 1970. — Vol. 77, no. 2. — P. 161—164. — doi:10.2307/2317329. MR: 0252233. Sperner’s Lemma Архивная копия от 19 апреля 2016 на Wayback Machine, Moor Xu E. A. Kasimatis, Dissections of regular polygons into triangles of equal areas, Discrete & Computational Geometry, August 1989, Volume 4, Issue 4, pp 375—381 Литература Б. Беккер, С. Востоков, Ю. Ионин. 2-адические числа // Квант. — 1979. — Т. 2. — С. 26—31.