Меню
Главная
Случайная статья
Настройки
|
Зоногон — центрально-симметричный выпуклый многоугольник.
Содержание
Эквивалентные определения- Зоногон — выпуклый многоугольник с чётным количеством сторон, которые можно разбить на пары равных и параллельных. На самом деле, достаточно требовать истинность обеих условий для всех пар сторон, кроме одной — для неё условие уже будет следствием, что нетрудно доказать по индукции по количеству сторон многоугольника. Однако пара сторон, параллельность и равенство которых не постулируется, обязательно должна быть одной и той же для обеих условий, иначе многоугольник уже не обязательно будет зоногоном: пример многоугольника, не являющегося зоногоном, в котором противоположные стороны лишь одной пары не параллельны и противоположные стороны лишь одной пары не равны, изображён на рисунке справа.
- Зоногон — выпуклый многоугольник с чётным количеством сторон, у которого все противоположные стороны и углы равны.
- Зоногон — сумма Минковского конечного числа отрезков на плоскости. Количество сторон полученного зоногона равно удвоенному количеству отрезков.
- Зоногон — граница проекции на плоскость гиперкуба некоторой размерности. Данное определение можно получить из предыдущего, пользуясь тем фактом, что гиперкуб является суммой Минковского своих рёбер, выходящих из одной вершины, и тем, что проекция суммы Минковского отрезков (как и любых других множеств) является суммой Минковского их проекций. При размерности гиперкуба полученный зоногон имеет ровно сторон в общем случае и не более сторон в любом случае. Важно, что гиперкуб размерности не обязательно должен проектироваться из -мерного пространства на плоскость, содержащуюся в этом пространстве: например, проектируя куб с ребром из трёхмерного пространства на содержащуюся в нём плоскость, нельзя получить фигуру с диаметром меньше , так как таков диаметр вписанной сферы куба, чья проекция является кругом диаметра и содержится внутри проекции самого куба при любом его положении, а вот ортогональная проекция куба такого же размера с вершинами из пятимерного пространства на плоскость, образованную всеми точками вида , состоит и вовсе из одной точки — . Данное уточнение влияет не только на размер получаемых зоногонов - некоторые зоногоны с точностью до подобия могут быть получены только проектированием гиперкуба на плоскость из пространства большей размерности, чем размерность самого гиперкуба.
Частные случаи
Свойства- Максимальное количество пар вершин, которые могут находиться на одинаковых расстояниях, в зоногоне с сторонами равно . Существуют зоногоны с количеством таких пар, равным (см. «O» большое и «o» малое)[3].
- Любой строго выпуклый зоногон с сторонами может быть разбит на параллелограммов, причём среди них всегда на каждую пару возможных направлений сторон зоногона будет приходиться ровно один параллелограмм с такими же направлениями сторон[4]. Количества таких возможных разбиений для зоногонов с любыми количествами сторон даёт последовательность A006245 в OEIS.
- Для любого разбиения произвольного зоногона на параллелограммы (в любом возможном их количестве) найдётся по крайней мере три вершины зоногона, каждая из которых принадлежит всего лишь одному из параллелограммов[5].
Способы уменьшения количества сторон
Указанные способы могут быть применены в индукции по количеству сторон зоногона по доказательству приведённых выше эквивалентных определений и свойств.
- Отсечение вершин — при помощи него, например, легко доказывается эквивалентность главного определения второму определению из раздела с эквивалентными определениями.
- Отсечение полос параллелограммов — помимо прочего, оно может быть использовано для доказательства свойств выше, связанных с разбиением зоногонов на параллелограммы полностью.
Замощенияплоскости зоногонами
Все зоногоны с количеством вершин, большим четырёх, в замощениях ниже могут быть разбиты на зоногоны с меньшим количеством вершин при помощи рассечения слоёв параллелограммов, показанного на одном из рисунков выше. Также эти параллелограммы могут быть удалены из замощения, что будет равносильно «схлопыванию» зоногонов в некотором направлении.
Замощения одним типом зоногонов
Четырёхугольники и шестиугольники, являющиеся зоногонами, являются также параллелогонами и допускают замощения плоскости собственными копиями, полученными только при помощи параллельного переноса.
Замощения плоскости одним типом зоногонов
|
Замощение четырёхугольными зоногонами
|
Замощение шестиугольными зоногонами
|
|
|
Замощения двумя типами зоногонов
Данные замощения являются своего рода усечениями замощения плоскости параллелограммами (четырёхугольными зоногонами) по рёбрам и по вершинам соответственно.
Замощения плоскости двумя типами зоногонов
|
Замощение четырёхугольными и шестиугольными зоногонами
|
Замощение четырёхугольными и восьмиугольными зоногонами
|
|
|
Некоторые другие замощения
Замощения плоскости несколькими типами зоногонов, включая восьми- угольные, полученные из замощений плоскости одним типом зоногонов
|
Замощение четырёхугольными и восьмиугольными зоногонами
|
Замощение четырёхугольными, шести- угольными и восьмиугольными зоногонами
|
Каркасы
|
|
|
Замощения
|
|
|
В общем случае восьмиугольный зоногон задаёт два подобных замощения.
|
В общем случае восьмиугольный зоногон задаёт четыре подобных замощения.
|
Замощения плоскости четырёхугольными, шестиугольными и восьми- угольными зоногонами, полученные из замощений предыдущей таблицы
|
Замощение, полученное из замощения четырёх- угольными и восьмиугольными зоногонами
|
Замощение, полученное из замощения четырёхугольными, шестиугольными и восьмиугольными зоногонами
|
Каркасы
|
|
|
Замощения
|
|
|
В общем случае восьмиугольный зоногон задаёт четыре подобных замощения (двумя способами можно соединять сами восьмиугольники, а ещё двумя для каждого расположения восьмиугольников сгруппировать оставшиеся части плоскости в четырёхугольники и шестиугольники).
|
В общем случае восьмиугольный зоногон задаёт четыре подобных замощения, как и в случае слева. В данной мозаике, в отличие от той, что слева, четырёхугольники, участвующие в заполнении дыр в «кольцах» из восьми восьмиугольников, совпадают с четырёхугольниками, заполняющими дыры в «кольцах» из четырёх восьми- угольников — этот факт иллюстрирует возможность двоякого заполнения «колец» из восьми восьмиугольников (во втором варианте их четырёхугольники совпадали бы с четырёхугольниками из «колец» из шести восьмиугольников).
|
Некоторые способы «раздвигания» замощений
Замощения могут быть «раздвинуты» вдоль периодических разрезов между многоугольниками, а полученные щели могут быть заполнены полосами, приведёнными ниже. В первой таблице предыдущего раздела правое замощение было получено из левого при помощи
Способы с равномерным чередованием сторон
|
Период 1
|
|
|
Период 2
|
|
|
Период 3
|
|
|
Период 4
|
|
При помощи данной полосы левое замощение из первой таблицы предыдущего раздела может быть превращено в правое замощение той же таблицы.
|
Способы со сторонами, встречающимися с разной частотой
|
Период 4
|
|
На границе данной полосы один тип сторон встречается в два раза чаще, чем любой из других двух.
|
Обобщения- Зоноэдр (зонотоп) — многогранник, являющийся обобщением зоногона для трёхмерного пространства и пространств большей размерности. Иногда под зоноэдром подразумевают только трёхмерный многогранник, а под зонотопом - многогранник произвольной размерности.
- Можно рассматривать центрально-симметричный многоугольник, не являющийся выпуклым и даже несамопересекающимся. При этом для него будут верны только два первых определения из раздела «Эквивалентные определения» с соответственно убранными требованиями выпуклости. В некотором смысле такие многоугольники с небольшим количеством сторон всё ещё будут допускать замощения плоскости.
Примечания
- Монски, Пауль (1990), A conjecture of Stein on plane dissections, Mathematische Zeitschrift, 205 (4): 583–592, doi:10.1007/BF02571264, MR 1082876
-
-
-
-
|
|