Меню Главная Случайная статья Настройки Симплекс Материал из https://ru.wikipedia.org Симплекс или n-мерный тетраэдр (от лат. simplex ‘простой’) — геометрическая фигура, являющаяся n-мерным обобщением треугольника. Содержание 1 Определение 2 Связанные определения 2.1 Стандартный симплекс 3 Свойства 4 Построение 5 Описанная сфера 6 Число граней симплекса 7 Соотношения в правильном симплексе 8 Формулы для правильного симплекса 9 Симплексы в топологии 10 См. также 11 Примечания 12 Литература 13 Ссылки Определение Симплекс (точнее, n-симплекс, где число n называется размерностью симплекса) — это выпуклая оболочка n+1 точки аффинного пространства (размерности n или больше), которые предполагаются аффинно независимыми (то есть не лежат в подпространстве размерности n1). Эти точки называются вершинами симплекса[1][2]. Симплекс может быть охарактеризован как множество всевозможных выпуклых комбинаций своих вершин ${\displaystyle A_{i}}$: ${\displaystyle \Delta =\left\{\sum _{i=0}^{n}t_{i}A_{i}:\left(\sum _{i=0}^{n}t_{i}=1\right)\wedge (\forall i\;t_{i}\geqslant 0)\right\}.}$ Связанные определения Открытым симплексом называется множество всевозможных барицентрических комбинаций своих вершин с положительными коэффициентами (при этом симплекс с теми же вершинами, удовлетворяющий определению из предыдущего раздела, именуют также замкнутым симплексом; в соответствии с терминологией общей топологии, замкнутый симплекс есть замыкание соответствующего открытого симплекса, а этот открытый симплекс есть открытое ядро замкнутого симплекса)[1][3]. Остовом симплекса называется множество всех его вершин[4]. Рёбрами симплекса называются отрезки, соединяющие его вершины[5]. Гранями размерности s симплекса называются s-мерные симплексы, остовами которых служат подмножества остова исходного симплекса[6]. Симплекс называют ориентированным, если его остов представляет собой вполне упорядоченное множество; при этом считается, что порядки, отличающиеся друг от друга чётной перестановкой вершин, задают одинаковую (под ориентированным ${\displaystyle 0}$-симплексом понимается точка, которой приписан знак: «плюс» или «минус»)[6][7]. Симплекс, лежащий в евклидовом пространстве, называется правильным, если все его рёбра имеют одинаковую длину[8]. Стандартный симплекс Стандартный ${\displaystyle n}$-симплекс — это подмножество арифметического пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$, определяемое как[9] ${\displaystyle \Delta ^{n}=\left\{(t_{0},\dots ,t_{n}):\left(\sum _{i=0}^{n}t_{i}=1\right)\wedge (\forall i\;t_{i}\geqslant 0)\right\}.}$ Его вершинами являются точки[9] e0 = (1, 0, …, 0), e1 = (0, 1, …, 0), … en = (0, 0, …, 1). Существует каноническое взаимно-однозначное отображение стандартного ${\displaystyle n}$-симплекса в любой другой ${\displaystyle n}$-симплекс с координатами вершин ${\displaystyle (v_{0},v_{1},\dots ,v_{n})}$: ${\displaystyle (t_{0},\dots ,t_{n})\mapsto \sum _{i}t_{i}v_{i}.}$ Значения ${\displaystyle t_{i}}$ для данной точки симплекса называются её барицентрическими координатами[3]. Свойства n-мерный симплекс имеет ${\displaystyle n+1}$ вершин, любые ${\displaystyle k+1}$ из которых образуют k-мерную грань. В частности, число k-мерных граней в n-симплексе равно биномиальному коэффициенту ${\displaystyle {\tbinom {n+1}{k+1}}.}$ В частности, число граней старшей размерности совпадает с количеством вершин и равно ${\displaystyle n+1}$. Ориентированный объём n-симплекса в n-мерном евклидовом пространстве можно определить по формуле ${\displaystyle V={\frac {1}{n!}}\det(v_{1}-v_{0},v_{2}-v_{0},\dots ,v_{n}-v_{0}).}$ Определитель Кэли — Менгера позволяет вычислить объём симплекса, зная длины его рёбер: ${\displaystyle V^{2}={\frac {(-1)^{n-1}}{2^{n}(n!)^{2}}}{\begin{vmatrix}0&1&1&1&\dots &1\\1&0&d_{01}^{2}&d_{02}^{2}&\dots &d_{0n}^{2}\\1&d_{10}^{2}&0&d_{12}^{2}&\dots &d_{1n}^{2}\\1&d_{20}^{2}&d_{21}^{2}&0&\dots &d_{2n}^{2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&d_{n0}^{2}&d_{n1}^{2}&d_{n2}^{2}&\dots &0\\\end{vmatrix}},}$ где ${\displaystyle d_{ij}=|v_{i}-v_{j}|}$ — расстояние между i-й и j-й вершинами, n — размерность пространства. Эта формула является обобщением формулы Герона для треугольников. Объём правильного n-симплекса с единичной стороной равен ${\displaystyle {\frac {\sqrt {n+1}}{n!\cdot 2^{n/2}}}}$. Радиус ${\displaystyle R}$ описанной n-мерной сферы удовлетворяет соотношению ${\displaystyle (R\cdot V)^{2}=T,}$ где ${\displaystyle V}$ — объём симплекса, и ${\displaystyle T={\frac {(-1)^{n}}{2^{n+1}{(n!)}^{2}}}{\begin{vmatrix}0&d_{01}^{2}&d_{02}^{2}&\dots &d_{0n}^{2}\\d_{10}^{2}&0&d_{12}^{2}&\dots &d_{1n}^{2}\\d_{20}^{2}&d_{21}^{2}&0&\dots &d_{2n}^{2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\d_{n0}^{2}&d_{n1}^{2}&d_{n2}^{2}&\dots &0\\\end{vmatrix}}.}$ Построение Если размерность пространства равна n, то через любые n его точек можно провести гиперплоскость, и существуют множества из n+1 точки, через которые гиперплоскость провести нельзя. Таким образом, n+1 — минимальное число таких точек n-мерного пространства, которые не лежат в одной гиперплоскости; эти точки могут служить вершинами n-мерного многогранника[10]. Простейший n-мерный многогранник с количеством вершин n+1 как раз и называется симплексом (принято также название «n-мерный тетраэдр»). В пространствах низшей размерности этому определению соответствуют такие фигуры[11]: 0-симплекс (точка) — 1 вершина; 1-симплекс (отрезок) — 2 вершины; 2-симплекс (треугольник) — 3 вершины; 3-симплекс (тетраэдр) — 4 вершины. Все эти фигуры обладают тремя общими свойствами. В соответствии с определением, число вершин у каждой фигуры на единицу больше размерности пространства. Существует общее правило преобразования симплексов низшей размерности в симплексы высшей размерности. Оно заключается в том, что из некоторой точки симплекса проводят луч, не лежащий в аффинной оболочке данного симплекса, и на этом луче выбирают новую вершину, которую соединяют рёбрами со всеми вершинами исходного симплекса. Как следует из описанной в пункте 2 процедуры, любая вершина симплекса соединена рёбрами со всеми остальными вершинами. Описанная сфера Вокруг любого n-симплекса в евклидовом пространстве можно описать n-сферу. Для 1-симплекса это утверждение очевидно. Описанная 1-сфера будет представлять собой две равноудалённые от центра отрезка точки, совпадающие с концами отрезка, и её радиус будет составлять R = a/2. Добавим к 1-симплексу ещё одну точку и попробуем описать вокруг них 2-сферу. Построим 2-сферу s0 радиусом a/2 таким образом, чтобы отрезок АВ был её диаметром. Если точка С находится за пределами окружности s0, то, увеличивая радиус окружности и смещая её в сторону точки С, можно добиться того, что все три точки окажутся на окружности. Если же точка С лежит внутри окружности s0, то подогнать окружность под эту точку можно, увеличивая её радиус и смещая в сторону, противоположную точке С. Как видно из рисунка, сделать это можно в любом случае, когда точка С не лежит на одной прямой с точками А и В. Не является помехой и несимметричное расположение точки С относительно отрезка АВ. Рассматривая общий случай, предположим, что существует (n1)-сфера Sn1 радиуса r, описанная вокруг некоторой (n–1)-мерной фигуры. Поместим центр сферы в начало координат. Уравнение сферы будет иметь вид ${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\dots +x_{n-1}^{2}=r^{2}.\qquad (1)}$ Построим n-сферу с центром в точке (0, 0, 0, ... 0, hS) и радиусом R, причём ${\displaystyle R^{2}=r^{2}+h_{S}^{2}.}$ Уравнение этой сферы ${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\dots +x_{n-1}^{2}+(x_{n}-h_{S})^{2}=r^{2}+h_{S}^{2},}$ или ${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\dots +x_{n-1}^{2}=r^{2}-x_{n}^{2}+2x_{n}h_{S}.\qquad (2)}$ Подставив в уравнение (2) xn = 0, получим уравнение (1). Таким образом, при любом hS сфера Sn1 является подмножеством сферы Sn, а именно — её сечением плоскостью xn = 0. Предположим, что точка С имеет координаты (x1, x2, x3, ..., xn ). Преобразуем уравнение (2) к виду ${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\dots +x_{n-1}^{2}+x_{n}^{2}=r^{2}+2x_{n}h_{S}}$ и подставим в него координаты точки С: ${\displaystyle X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+X_{3}^{2}+\dots +X_{n-1}^{2}+X_{n}^{2}=r^{2}+2X_{n}h_{S}.}$ Выражение в левой части представляет собой квадрат расстояния RC от начала координат до точки C, что позволяет привести последнее уравнение к виду ${\displaystyle R_{C}^{2}=r^{2}+2X_{n}h_{S},}$ откуда можно выразить параметр hS: ${\displaystyle h_{S}={\frac {R_{C}^{2}-r^{2}}{2X_{n}}}.}$ Очевидно, что hS существует при любых RC, Xn и r, кроме Xn = 0. Это значит, что если точка С не лежит в плоскости сферы Sn1, всегда можно найти такой параметр hS, что на сфере Sn c центром (0, 0, 0, ..., hS) будут лежать и сфера Sn1, и точка С. Таким образом, вокруг любых n+1 точек можно описать n-сферу, если n из этих точек лежат на одной (n1)-сфере, и последняя точка не лежит с ними в одной (n1)-плоскости. Рассуждая по индукции, можно утверждать, что n-сферу можно описать вокруг любых n+1 точек, если они не лежат в одной (n1)-плоскости. Число граней симплекса Симплекс имеет n+1 вершин, каждая из которых соединена рёбрами со всеми остальными вершинами. Поскольку все вершины симплекса соединены между собой, то тем же свойством обладает и любое подмножество его вершин. Это значит, что любое подмножество из L+1 вершин симплекса определяют его L-мерную грань, и эта грань сама является L-симплексом. Тогда для симплекса число L-мерных граней равно числу способов выбрать L+1 вершину из полного набора n+1 вершин. Обозначим символом К(L, n) число L-мерных граней в n-многограннике; тогда для n-симплекса ${\displaystyle K(L,n)=C_{n+1}^{L+1},}$ где ${\displaystyle C_{n}^{k}}$ — число сочетаний из n по k. В частности, число граней старшей размерности равно числу вершин и равно n+1: ${\displaystyle K(0,n)=K(n-1,n)=n+1.}$ Соотношения в правильном симплексе Для правильного n-мерного симплекса обозначим: ${\displaystyle a}$ — длина стороны; ${\displaystyle H_{n}}$ — высота; ${\displaystyle V_{n}}$ — объём; ${\displaystyle R_{n}}$ — радиус описанной сферы; ${\displaystyle r_{n}}$ — радиус вписанной сферы; ${\displaystyle \alpha _{n}}$ — двугранный угол. Тогда ${\displaystyle H_{n}=a{\sqrt {\frac {n+1}{2n}}}=R_{n}{\frac {n+1}{n}}}$ ${\displaystyle V_{n}={\frac {a^{n}}{n!}}{\sqrt {\frac {n+1}{2^{n}}}}={\frac {R_{n}^{n}}{n!}}{\sqrt {\left({\frac {n+1}{n}}\right)^{n}}}}$ ${\displaystyle R_{n}=a{\sqrt {\frac {n}{2(n+1)}}}}$ ${\displaystyle r_{n}={\frac {a}{\sqrt {2n(n+1)}}}={\frac {R_{n}}{n}}}$ ${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {1}{n}}}$ [8] ${\displaystyle R_{n}=H_{n}{\frac {n}{n+1}}}$ ${\displaystyle a^{2}=H_{n}^{2}+R_{n-1}^{2}}$ ${\displaystyle V_{n}={\frac {1}{n}}V_{n-1}H_{n}}$ ${\displaystyle r_{n}^{2}=R_{n}^{2}-R_{n-1}^{2}}$ Формулы для правильного симплекса Число L-мерных граней ${\displaystyle K(L,n)={\tbinom {n+1}{L+1}}}$ Высота ${\displaystyle H_{n}=a{\sqrt {\frac {n+1}{2n}}}}$ ${\displaystyle H_{n}=R_{n}{\frac {n+1}{n}}}$ ${\displaystyle H_{2}=a{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$ ${\displaystyle H_{3}=a{\frac {\sqrt {6}}{3}}}$ ${\displaystyle H_{4}=a{\frac {\sqrt {10}}{4}}}$ Объём ${\displaystyle V_{n}={\frac {a^{n}}{n!}}{\sqrt {\frac {n+1}{2^{n}}}}}$ ${\displaystyle V_{n}={\frac {R_{n}^{n}}{n!}}{\sqrt {\left({\frac {n+1}{n}}\right)^{n}}}}$ ${\displaystyle V_{2}=a^{2}{\frac {\sqrt {3}}{4}}}$ ${\displaystyle V_{3}=a^{3}{\frac {\sqrt {2}}{12}}}$ ${\displaystyle V_{4}=a^{4}{\frac {\sqrt {5}}{96}}}$ Радиус описанной сферы ${\displaystyle R_{n}=a{\sqrt {\frac {n}{2(n+1)}}}}$ ${\displaystyle a=R_{n}{\sqrt {\frac {2(n+1)}{n}}}}$ ${\displaystyle R_{2}=a{\frac {\sqrt {3}}{3}}}$ ${\displaystyle R_{3}=a{\frac {\sqrt {6}}{4}}}$ ${\displaystyle R_{4}=a{\frac {\sqrt {10}}{5}}}$ Радиус вписанной сферы ${\displaystyle r_{n}={\frac {a}{\sqrt {2n(n+1)}}}}$ ${\displaystyle r_{n}={\frac {R_{n}}{n}}}$ ${\displaystyle r_{2}=a{\frac {\sqrt {3}}{6}}}$ ${\displaystyle r_{3}=a{\frac {\sqrt {6}}{12}}}$ ${\displaystyle r_{4}=a{\frac {\sqrt {10}}{20}}}$ Двугранный угол ${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {1}{n}}}$ Симплексы в топологии Топологическим симплексом называют подмножество топологического пространства, которое гомеоморфно симплексу некоторого аффинного пространства (или, что то же самое, стандартному симплексу соответствующей размерности). Понятие топологического симплекса лежит в основе теории симплициальных комплексов (симплициальный комплекс — это топологическое пространство, представленное как объединение топологических симплексов, образующих триангуляцию данного пространства)[12]. См. также Барицентрические координаты Барицентрическое подразделение Симплекс-метод Симплициальный комплекс Пятиячейник Теорема косинусов Теорема о сумме углов треугольника Триангуляция (геометрия) Примечания 1 2 Александров и Пасынков, 1973, с. 197—198. Залгаллер В. А. . Симплекс // Математическая энциклопедия. Т. 4 / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1984. Архивировано 21 января 2022 года. — 1216 стб. — Стб. 1151. 1 2 Александров, 1968, с. 355. Александров и Пасынков, 1973, с. 198. Болтянский, 1973, с. 211. 1 2 1 2 1 2 Кострикин и Манин, 1986, с. 200—201. Александров, 1968, с. 353—355. Кострикин и Манин, 1986, с. 201. Литература Ссылки Симплекс — статья из Большой советской энциклопедии.