Меню Главная Случайная статья Настройки Теорема Фалеса о пропорциональных отрезках Материал из https://ru.wikipedia.org Теорема Фалеса — теорема планиметрии о наборе параллельных секущих к паре прямых. Содержание 1 Формулировки 1.1 Замечания 2 История 3 Вариации и обобщения 3.1 Обратная теорема 3.2 Лемма Соллертинского 4 В культуре 5 См. также 6 Примечания 7 Литература Формулировки Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных между собой отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки. Более общая формулировка, также называемая теоремой о пропорциональных отрезках Параллельные секущие образуют на прямых пропорциональные отрезки: ${\displaystyle {\frac {A_{1}A_{2}}{B_{1}B_{2}}}={\frac {A_{2}A_{3}}{B_{2}B_{3}}}={\frac {A_{1}A_{3}}{B_{1}B_{3}}}.}$ Замечания В теореме нет ограничений на взаимное расположение прямых (она верна как для пересекающихся прямых, так и для параллельных). Также не важно, где находятся отрезки на прямых. Теорема Фалеса является частным случаем теоремы о пропорциональных отрезках, поскольку равные отрезки можно считать пропорциональными отрезками с коэффициентом пропорциональности, равным 1. Рассмотрим вариант с несвязанными парами отрезков: пусть угол пересекают прямые ${\displaystyle AA_{1}||BB_{1}||CC_{1}||DD_{1}}$ и при этом ${\displaystyle AB=CD}$. Проведём через точки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle C}$ прямые, параллельные другой стороне угла. ${\displaystyle AB_{2}B_{1}A_{1}}$ и ${\displaystyle CD_{2}D_{1}C_{1}}$. Согласно свойству параллелограмма: ${\displaystyle AB_{2}=A_{1}B_{1}}$ и ${\displaystyle CD_{2}=C_{1}D_{1}}$. Треугольники ${\displaystyle \bigtriangleup ABB_{2}}$ и ${\displaystyle \bigtriangleup CDD_{2}}$ равны на основании второго признака равенства треугольников