Меню Главная Случайная статья Настройки Теория хаоса Материал из https://ru.wikipedia.org Теория хаоса — математический аппарат, описывающий поведение некоторых нелинейных динамических систем, подверженных, при определённых условиях, явлению, известному как хаос (динамический хаос, детерминированный хаос). Поведение такой системы кажется случайным, даже если модель, описывающая систему, является детерминированной. Для акцентирования особого характера изучаемого в рамках этой теории явления обычно принято использовать название теория динамического хаоса. Примерами подобных систем являются атмосфера, турбулентные потоки, некоторые виды аритмий сердца, биологические популяции, общество как система коммуникаций и его подсистемы: экономические, политические, психологические (культурно-исторические и интеркультуральные) и другие социальные системы. Их изучение, наряду с аналитическим исследованием имеющихся рекуррентных соотношений, обычно сопровождается математическим моделированием. Теория хаоса — область исследований, связывающая математику и физику. Содержание 1 Основные сведения 2 Понятие хаоса 2.1 Чувствительность к начальным условиям 2.2 Топологическое смешивание 2.3 Тонкости определения 3 Аттракторы 4 Странные аттракторы 5 Простые хаотические системы 6 Математическая теория 7 Хронология 8 Применение 9 Различия между случайными и хаотическими данными 10 См. также 11 Примечания 12 Литература 13 Ссылки Основные сведения Теория хаоса подразумевает, что сложные детерминированные системы чрезвычайно зависимы от первоначальных условий: небольшие изменения в окружающей среде могут привести к существенно различным последствиям, что делает предсказания их поведения крайне затруднительными. Математические системы с хаотическим поведением являются детерминированными, то есть подчиняются строгим законам, и обладают определённым порядком. Такое использование слова «хаос» отличается от его обычного значения (см. хаос в мифологии). Отдельная область физики — теория квантового хаоса — изучает квантовые системы, которые демонстрируют хаотическое поведение, схожее с классическими аналогами. Основоположниками теории хаоса считаются французский математик и философ Анри Пуанкаре (доказал теорему о возвращении), советские математики А. Н. Колмогоров и В. И. Арнольд, а также немецкий математик Ю. К. Мозер, создавшие теорию устойчивости КАМ (Колмогорова — Арнольда — Мозера). КАМ-теория изучает инвариантные торы в интегрируемых системах при малых возмущениях. Теория хаоса вводит понятия аттракторов, включая странные аттракторы, обладающие самоподобной структурой и демонстрирующие сложную динамику. Понятие хаоса В бытовом контексте слово «хаос» означает «быть в состоянии беспорядка». В теории хаоса прилагательное хаотический определено более точно. Хотя общепринятого универсального математического определения хаоса нет, обычно используемое определение говорит, что динамическая система, которая классифицируется как хаотическая, должна иметь следующие свойства: Она должна быть чувствительна к начальным условиям. Она должна иметь свойство топологического смешивания. Её периодические орбиты должны быть всюду плотными. Более точные математические условия возникновения хаоса выглядят так: Система должна иметь нелинейные характеристики, быть глобально устойчивой, но иметь хотя бы одну неустойчивую точку равновесия колебательного типа, при этом фрактальная размерность системы должна быть не менее 1,5. Линейные системы никогда не бывают хаотическими. Для того, чтобы динамическая система была хаотической, она должна быть нелинейной. По теореме Пуанкаре — Бендиксона, непрерывная динамическая система на плоскости не может быть хаотической. Среди непрерывных систем хаотическое поведение имеют только неплоские пространственные системы (обязательно наличие не менее трёх измерений или неевклидова геометрия). Однако дискретная динамическая система на какой-то стадии может проявить хаотическое поведение даже в одномерном или двумерном пространстве. Чувствительность к начальным условиям Чувствительность к начальным условиям в такой системе означает, что существует ${\displaystyle \delta >0}$ такое, что для любой точки ${\displaystyle x}$ и любой ее окрестности ${\displaystyle U_{x}}$ найдутся точка ${\displaystyle y\in U_{x}}$ и число ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ такие, что ${\displaystyle ||f^{n}(x)-f^{n}(y)||>\delta }$. Чувствительность к начальным условиям отличается от экспансивности. Таким образом, произвольно небольшое изменение текущей траектории может привести к значительному изменению в её будущем поведении. Доказано, что последние два свойства фактически подразумевают чувствительность к первоначальным условиям (альтернативное, более слабое определение хаоса использует только первые два свойства из вышеупомянутого списка). Чувствительность к начальным условиям более известна как «эффект бабочки». Термин возник в связи со статьёй «Предсказание: Взмах крыльев бабочки в Бразилии вызовет торнадо в штате Техас», которую Эдвард Лоренц в 1972 году вручил американской «Ассоциации для продвижения науки» в Вашингтоне. Взмах крыльев бабочки символизирует мелкие изменения в первоначальном состоянии системы, которые вызывают цепочку событий, ведущих к крупномасштабным изменениям. Топологическое смешивание Топологическое смешивание в динамике хаоса означает такую схему расширения системы, что одна её область в какой-то стадии расширения накладывается на любую другую область. Математическое понятие «смешивание» как пример хаотической системы соответствует смешиванию разноцветных красок или жидкостей. Тонкости определения В популярных работах чувствительность к первоначальным условиям часто путается с самим хаосом. Грань очень тонкая, поскольку зависит от выбора показателей измерения и определения расстояний в конкретной стадии системы. Например, рассмотрим простую динамическую систему, которая неоднократно удваивает первоначальные значения. Такая система имеет чувствительную зависимость от первоначальных условий везде, так как любые две соседние точки в первоначальной стадии впоследствии будут на значительном расстоянии друг от друга. Однако её поведение тривиально, поскольку все точки кроме нуля имеют тенденцию к бесконечности, и это не топологическое смешивание. В определении хаоса внимание обычно ограничивается только закрытыми системами, в которых расширение и чувствительность к первоначальным условиям объединяются со смешиванием. Даже для закрытых систем чувствительность к первоначальным условиям не идентична с хаосом в смысле изложенном выше. Например, рассмотрим тор, заданный парой углов (x, y) со значениями от 0 до 2. Отображение любой точки (x, y) определяется как (2x, y + a), где значение a/2 является иррациональным. Удвоение первой координаты в отображении указывает на чувствительность к первоначальным условиям. Однако, из-за иррационального изменения во второй координате, нет никаких периодических орбит — следовательно отображение не является хаотическим согласно вышеупомянутому определению. Примером системы, не чувствительной к начальным условиям, но обладающей свойством топологического смешивания, является поворот единичной окружности на иррациональный угол. Аттракторы