Меню Главная Случайная статья Настройки Топологическое кольцо Материал из https://ru.wikipedia.org Топологическое кольцо — кольцо, снабжённое естественной топологией. Содержание 1 Определения 2 Примеры 2.1 Топологические кольца 2.2 Топологические поля 3 Свойства 4 Ссылки Определения Топологическое кольцо — кольцо с топологией, относительно которой сложение и умножение непрерывны. В определении топологического поля дополнительно требуется, что взятие обратного ${\displaystyle x\mapsto x^{-1}}$ непрерывно во всех элементах кроме 0. Примеры Топологические кольца Кольцо непрерывных вещественно-значных функций на топологическом пространстве с топологией поточечной сходимости. Кольцо непрерывных линейных операторов на нормированном пространстве; Банахова алгебра. Двойные, дуальные и другие гиперкомплексные числа. Топологические поля рациональные, вещественные, комплексные и р-адические числа. Локальное поле Свойства Пополнение топологического кольца даёт полное топологическое кольцо. Группа единиц ${\displaystyle K^{\times }}$ топологического кольца ${\displaystyle K}$ образуют топологическую группу, с топологией индуцированной вложением в ${\displaystyle u\mapsto (u,u^{-1})}$. Однако если группа ${\displaystyle K^{\times }}$ снабжена топологией как подпространство в ${\displaystyle K}$, то она может не быть топологической группой, поскольку в этой топологии отображение ${\displaystyle u\mapsto u^{-1}}$ не обязано быть непрерывным. Это происходит например в кольцах аделей[англ.]. Ссылки Понтрягин Л.С. Непрерывные группы. — М.: Наука, 1973. — 519 с.