Меню Главная Случайная статья Настройки Точка Жергонна Материал из https://ru.wikipedia.org Точка Жергонна — точка пересечения отрезков, соединяющих вершины треугольника с точками касания противоположных сторон вписанной окружности. Обычно обозначается ${\displaystyle Ge}$, ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle J}$ или ${\displaystyle K}$. Содержание 1 Свойства 2 Треугольник Жергонна 2.1 Свойства 3 См. также 4 История 5 Примечания Свойства Точка Жергонна является точкой Лемуана треугольника, образованного точками касания сторон треугольника со вписанной окружностью. Точка Жергонна изотомически сопряжена точке Нагеля. Точка Жергонна изогонально сопряжена с центром отрицательной гомотетии вписанной и описанной окружности. Квадрат расстояния от точки Жергонна до центра вписанной окружности равен ${\displaystyle L^{2}=r^{2}-{\frac {3p^{2}r^{2}}{(4R+r)^{2}}}}$ Квадрат расстояния от точки Жергонна до центра описанной окружности равен ${\displaystyle L^{2}=R^{2}-{\frac {4p^{2}r(R+r)}{(4R+r)^{2}}}}$ Точка Жергонна лежит внутри открытого ортоцентроидного круга с выколотым центром.[1] Полный набор свойств точки Жергонна можно найти в статье Декова.[2] Треугольник Жергонна Треугольник Жергонна для основного треугольника ABC определяется тремя точками касания вписанной окружности трёх его сторон. Эти вершины обозначим TA, TB и TC. Точка TA лежит напротив вершины A. Этот треугольник Жергонна TATBTC известен также как треугольник касаний треугольника ABC. Свойства Три прямые ATA, BTB и CTC пересекаются в одной точке — точке Жергонна и обозначается Ge — X(7). Точка Жергонна треугольника является точкой пересечения симедиан треугольника Жергонна. Пусть точки касания вписанной в данный треугольник окружности соединены отрезками, тогда получится треугольник Жергонна, и в полученном треугольнике проведены высоты. В этом случае прямые, соединяющие основания этих высот, параллельны сторонам исходного треугольника. Следовательно, ортотреугольник треугольника Жергонна и исходный треугольник подобны. Треугольник Жергонна (для треугольника ABC) является подерным треугольником для инцентра в треугольнике ABC. См. также Замечательные точки треугольника Вневписанная окружность Вписанная и вневписанные в треугольник окружности Описанная окружность Точка Нагеля История Точка Жергонна была открыта Жозефом Диасом Жергонном (Joseph Diaz Gergonne, 19.06.1771 – 4.05.1859) в начале XIX века. Примечания Christopher J. Bradley, Geoff C. Smith. The locations of triangle centers // Forum Geometricorum. — 2006. — Вып. 6. — С. 57-70.. Deko Dekov. Computer-generated Mathematics : The Gergonne Point // Journal of Computer-generated Euclidean Geometry. — 2009. — Т. 1. — С. 1–14.. Архивировано 5 ноября 2010 года.