Меню Главная Случайная статья Настройки Тригонометрические функции от матрицы Материал из https://ru.wikipedia.org Тригонометрические функции от матрицы — обобщения тригонометрических функций для квадратных матриц. Тригонометрические функции (особенно часто синус и косинус) от квадратных матриц возникают в решениях систем дифференциальных уравнений второго порядка.[1] Они определяются через те же ряды Тейлора, через которые определяются тригонометрические функции от вещественного или комплексного аргумента:[2] ${\displaystyle {\begin{aligned}\sin X&=X-{\frac {X^{3}}{3!}}+{\frac {X^{5}}{5!}}-{\frac {X^{7}}{7!}}+\cdots &=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}X^{2n+1}\\\cos X&=I-{\frac {X^{2}}{2!}}+{\frac {X^{4}}{4!}}-{\frac {X^{6}}{6!}}+\cdots &=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}X^{2n}\end{aligned}}}$ где Xn означает матрицу Также тригонометрические функции матричного аргумента могут быть определены через матричную экспоненту с учётом матричного аналога формулы Эйлера ${\displaystyle {\begin{aligned}\sin X&={e^{iX}-e^{-iX} \over 2i}\\\cos X&={e^{iX}+e^{-iX} \over 2}.\end{aligned}}}$ Например, пусть ${\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}~,}$ Тогда ${\displaystyle \sin(\theta \sigma _{1})=\sin(\theta )~\sigma _{1},\qquad \cos(\theta \sigma _{1})=\cos(\theta )~I~,}$ Можно вычислить и кардинальный синус: ${\displaystyle \operatorname {sinc} (\theta \sigma _{1})=\operatorname {sinc} (\theta )~I.}$ Свойства Справедлив матричный аналог основного тригонометрического тождества:[2] ${\displaystyle \sin ^{2}X+\cos ^{2}X=1}$ Если Матричные аналоги формул синуса и косинуса суммы справедливы тогда и только тогда, когда матрицы коммутируют, то есть ${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(X\pm Y)=\sin X\cos Y\pm \cos X\sin Y\\\cos(X\pm Y)=\cos X\cos Y\mp \sin X\sin Y\end{aligned}}}$ Другие функции Тангенс, обратные тригонометрические функции, гиперболические функции и обратные гиперболические функции так же могут быть определены и для матриц:[3] ${\displaystyle \arcsin X=-i\ln \left(iX+{\sqrt {I-X^{2}}}\right)}$ (см. Обратные тригонометрические функции#Связь с натуральным логарифмом, Матричный логарифм, Квадратный корень из матрицы) ${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh X&={e^{X}-e^{-X} \over 2}\\\cosh X&={e^{X}+e^{-X} \over 2}\end{aligned}}}$ и так далее. Примечания Gareth I. Hargreaves, Nicholas J. Higham. Efficient Algorithms for the Matrix Cosine and Sine (англ.) // Numerical Analysis Report : journal. — Manchester Centre for Computational Mathematics, 2005. — No. 461. 1 2 3 Nicholas J. Higham. Functions of matrices: theory and computation (англ.). — 2008. — P. 287f. — ISBN 9780898717778. Scilab trigonometry Архивная копия от 9 июля 2017 на Wayback Machine.