Меню Главная Случайная статья Настройки Кардинальный синус Материал из https://ru.wikipedia.org Кардинальный синус, (от лат. sinus cardinalis) — математическая функция. Обозначается В цифровой обработке сигналов и теории связи нормированная функция В математике ненормированная функция Нормировка функции выполняется из условия: ${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\sin ax}{ax}}\,dx=1}$ откуда ${\displaystyle a=\pi .}$ для ненормированной функции (${\displaystyle a=1}$): ${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx=\pi .}$ В обоих случаях значение функции в особой точке Содержание 1 Свойства 2 Использование и приложения 2.1 Обработка сигналов 3 См. также Свойства Нормированная функция ${\displaystyle \operatorname {sinc} \left(0\right)=1}$ и ${\displaystyle \operatorname {sinc} \left(k\right)=0}$ для всех ${\displaystyle k\neq 0}$ и ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ (целые числа); то есть это интерполянт. функции ${\displaystyle x_{k}\left(t\right)=\operatorname {sinc} \left(t-k\right)}$ формируют ортонормированный базис для функций в функциональном пространстве ${\displaystyle L^{2}\left(\mathbb {R} \right)}$, с наибольшей круговой частотой ${\displaystyle \omega _{H}=\pi }$. Локальные максимум и минимум ненормированной функции Ненормированная функция Интегральный синус определяется через интеграл от функции sinc(x). Непрерывное преобразование Фурье нормированной функции ${\displaystyle \operatorname {sinc} \left(x\right)={\frac {\sin \pi x}{\pi x}}}$ (для единичного интервала частот) равно прямоугольной функции ${\displaystyle \operatorname {rect} \left(f\right)}$. ${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }\operatorname {sinc} \left(t\right)\,e^{-2\pi ift}dt=\operatorname {rect} \left(f\right)}$, где прямоугольная функция — функция, принимающая значение 1 для любого аргумента из интервала между  и , и равная нулю при любом другом значении аргумента. Разложение в бесконечное произведение: ${\displaystyle \operatorname {sinc} \left(x\right)={\frac {\sin \pi x}{\pi x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}}}\right)}$ Выражение через гамма-функцию: ${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)={\frac {\sin \pi x}{\pi x}}={\frac {1}{\Gamma \left(1+x\right)\Gamma \left(1-x\right)}}}$ где ${\displaystyle \Gamma \left(x\right)}$ — гамма-функция. Использование и приложения Как преобразование Фурье прямоугольной функции sinc-функция возникает в задаче распространения волн из ближнего поля в дальнее поле (дифракция Фраунгофера, дифракция на щели). sinc-функция встречается в теории антенн, радаров, в акустике и т. д. Э. Т. Уиттекер показал, что sinc-функция играет центральную роль в теории интерполяции на сетке эквидистантных точек. В теории связи sinc-функция часто позволяет восстановить аналоговый сигнал по его отсчётам однозначно и без потерь (теорема Котельникова). Та же идея лежит в основе фильтра Ланцоша, применяемого, в частности, для передискретизации сигналов. Часто стремятся снизить влияние вторичных максимумов модуля, которые приводят к нежелательным боковым лепесткам диаграммы направленности. Часто используется квадрат sinc-функции, дающий интенсивность или мощность сигнала, амплитуда которого описывается sinc-функцией. Так как значения быстро уменьшаются с ростом аргумента, квадрат sinc-функции часто представляют в логарифмическом масштабе. Обработка сигналов sinc-фильтр — идеальный электронный фильтр, который подавляет все частоты в спектре сигнала выше некоторой частоты среза, оставляя все частоты ниже этой частоты неизменными. В частотной области (АЧХ) представляет собой прямоугольную функцию, а во временной области (импульсная характеристика) — sinc-функцию. См. также Сглаживание sinc-фильтр Атомарная функция Интегральный синус