Меню Главная Случайная статья Настройки Ундулоид Материал из https://ru.wikipedia.org Ундулоид — пример поверхности с постоянной средней кривизной. Является поверхностью вращения траектории фокуса эллипса при катании его по прямой. Содержание 1 История 2 Параметризация 3 Возникновение в материаловедении 4 Примечания 5 Ссылки История В 1841 году Шарль Делоне доказал, что единственными поверхностями с постоянной средней кривизной были поверхности, полученные катанием коник. Это плоскость, цилиндр, сфера, катеноид, ундулоид и нодоид.[1] Параметризация Пусть ${\displaystyle \operatorname {sn} (u,k)}$ обозначает нормальную функцию синуса Якоби, а ${\displaystyle \operatorname {dn} (u,k)}$ — нормальная эллиптическая функция Якоби. Далее, пусть ${\displaystyle \operatorname {F} (z,k)}$ представляют собой нормальный эллиптический интеграл первого рода и ${\displaystyle \operatorname {E} (z,k)}$ представляют собой нормальный эллиптический интеграл второго рода. Пусть a — длина большой оси эллипса, а e — эксцентриситет эллипса. Пусть k будет фиксированным значением от 0 до 1, называемым модулем. Тогда эллиптическая цепная линия описывается параметрическими уравнениями ${\displaystyle x(u)=-a\cdot (1-e)\cdot (\operatorname {F} (\operatorname {sn} (u,k),k)+\operatorname {F} (1,k))-a\cdot (1+e)\cdot (\operatorname {E} (\operatorname {sn} (u,k),k)+\operatorname {E} (1,k))\,}$ ${\displaystyle y(u)=a\cdot (1+e)\cdot \operatorname {dn} (u,k)\,}$ А значит её поверхность вращения может быть параметризована следующим образом: ${\displaystyle (x(u),y(u)\cdot \cos v,y(u)\cdot \sin v)}$ Возникновение в материаловедении Есть несколько примеров появления ундулоидов в природе. Впервый такой прмер задокументирован в 1970 году. При прохождении сильного электрического тока через тонкую (0,16–1,0 мм) горизонтально установленную жестко вытянутую (не закаленную) серебряную проволоку приводит к образованию ундулоидов по ее длине. Позже было обнаружено, что это же явление наблюдается и на молибденовой проволоке.[2] Ундулоиды также были обнаружены в феррожидкостях. Пропуская ток в осевом направлении через цилиндр, покрытый пленкой вязкой магнитной жидкости, магнитные диполи жидкости взаимодействуют с магнитным полем тока, создавая узор капель по длине цилиндра. Примечания C. Delaunay, Sur la surface de rvolution dont la courbure moyenne est constante, J. Math. Pures Appl., 6 (1841), 309–320. “Periodic Videos, Exploding wires” на YouTube Ссылки Ундулоид // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.