Меню Главная Случайная статья Настройки Касательная прямая Материал из https://ru.wikipedia.org Касательная прямая — прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка. Содержание 1 Строгое определение 2 Замечание 3 Касательная как предельное положение секущей 4 Касательная к окружности 4.1 Свойства 5 Вариации и обобщения 5.1 Односторонние полукасательные 6 См. также 7 Литература Строгое определение Пусть функция ${\displaystyle f\colon U(x_{0})\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ определена в некоторой окрестности точки ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} }$, и дифференцируема в ней: ${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(x_{0})}$. Касательной прямой к графику функции ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle x_{0}}$ называется график линейной функции, задаваемый уравнением ${\displaystyle y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}),\quad x\in \mathbb {R} }$. Если функция ${\displaystyle f}$ имеет в точке ${\displaystyle x_{0}}$ бесконечную производную ${\displaystyle f'(x_{0})=\pm \infty ,}$ то касательной прямой в этой точке называется вертикальная прямая, задаваемая уравнением ${\displaystyle x=x_{0}.}$ Замечание Прямо из определения следует, что график касательной прямой проходит через точку ${\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}$. Угол ${\displaystyle \alpha }$ между касательной к кривой и осью Ох удовлетворяет уравнению ${\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha =f'(x_{0})=k,}$ где ${\displaystyle \operatorname {tg} }$ обозначает тангенс, а ${\displaystyle \operatorname {k} }$ — коэффициент наклона касательной. Производная в точке ${\displaystyle x_{0}}$ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции ${\displaystyle y=f(x)}$ в этой точке. Касательная как предельное положениесекущей Пусть ${\displaystyle f\colon U(x_{0})\to \mathbb {R} }$ и ${\displaystyle x_{1}\in U(x_{0}).}$ Тогда прямая линия, проходящая через точки ${\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}$ и ${\displaystyle (x_{1},f(x_{1}))}$ задаётся уравнением ${\displaystyle y=f(x_{0})+{\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}(x-x_{0}).}$ Эта прямая проходит через точку ${\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}$ для любого ${\displaystyle x_{1}\in U(x_{0}),}$ и её угол наклона ${\displaystyle \alpha (x_{1})}$ удовлетворяет уравнению ${\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha (x_{1})={\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}.}$ В силу существования производной функции ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle x_{0},}$ переходя к пределу при ${\displaystyle x_{1}\to x_{0},}$ получаем, что существует предел ${\displaystyle \lim \limits _{x_{1}\to x_{0}}\operatorname {tg} \,\alpha (x_{1})=f'(x_{0}),}$ а в силу непрерывности арктангенса и предельный угол ${\displaystyle \alpha =\operatorname {arctg} \,f'(x_{0}).}$ Прямая, проходящая через точку ${\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}$ и имеющая предельный угол наклона, удовлетворяющий ${\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha =f'(x_{0}),}$ задаётся уравнением касательной: ${\displaystyle y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}).}$ Касательная к окружности Прямая, имеющая одну общую точку с окружностью и лежащая с ней в одной плоскости, называется касательной к окружности. Свойства Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания. Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности. Длина отрезка касательной, проведённой к окружности единичного радиуса, взятого между точкой касания и точкой пересечения касательной с лучом, проведённым из центра окружности, является тангенсом угла между этим лучом и направлением от центра окружности на точку касания. «Тангенс» от лат. tangens — «касательная». Вариации и обобщения Односторонние полукасательные Если существует правая производная ${\displaystyle f'_{+}(x_{0})<\infty ,}$ то правой полукасательной к графику функции ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle x_{0}}$ называется луч ${\displaystyle y=f(x_{0})+f'_{+}(x_{0})(x-x_{0}),\quad x\geqslant x_{0}.}$ Если существует левая производная ${\displaystyle f'_{-}(x_{0})<\infty ,}$ то левой полукасательной к графику функции ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle x_{0}}$ называется луч ${\displaystyle y=f(x_{0})+f'_{-}(x_{0})(x-x_{0}),\quad x\leqslant x_{0}.}$ Если существует бесконечная правая производная ${\displaystyle f'_{+}(x_{0})=+\infty \;(-\infty ),}$ то правой полукасательной к графику функции ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle x_{0}}$ называется луч ${\displaystyle x=x_{0},\;y\geqslant f(x_{0})\;(y\leqslant f(x_{0})).}$ Если существует бесконечная левая производная ${\displaystyle f'_{-}(x_{0})=+\infty \;(-\infty ),}$ то левой полукасательной к графику функции ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle x_{0}}$ называется луч ${\displaystyle x=x_{0},\;y\leqslant f(x_{0})\;(y\geqslant f(x_{0})).}$ См. также Дифференцируемая функция Касательное пространство Нормаль, бинормаль Теорема о секущих Литература Топоногов В. А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — ISBN 9785891552135.