Меню Главная Случайная статья Настройки Формула Лейбница для определителей Материал из https://ru.wikipedia.org Формула Лейбница — выражение для определителя квадратной матрицы ${\displaystyle A=(a_{i,j})}$ размера ${\displaystyle n\times n}$ через перестановки её элементов: ${\displaystyle \det(A)=\sum _{\tau \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\tau )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\tau (i)}=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i),i},}$ где ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$ — функция знака перестановки в группе перестановок ${\displaystyle S_{n}}$, которая возвращает +1 или 1 для чётных и нечётных перестановок соответственно. С использованием символа Леви-Чивиты и соглашений о суммировании Эйнштейна: ${\displaystyle \det(A)=\epsilon _{i_{1}\cdots i_{n}}{a}_{1i_{1}}\cdots {a}_{ni_{n}}}$. Формула названа в честь Готфрида Лейбница, который ввёл понятие определителя и способ его вычисления в 1678 году. Функция, определённая формулой Лейбница, является единственной знакопеременной мультилинейной функцией[англ.], обращающейся в единицу на единичной матрице[1]. Таким образом, определитель может быть однозначно определён как знакопеременная мультилинейная функция[англ.], полилинейная относительно столбцов и строк, обращающаяся в единицу на единичной матрице. Содержание 1 Вычислительная сложность 2 См. также 3 Примечания 4 Литература Вычислительная сложность Прямое вычисление по формуле Лейбница требует в общем случае ${\displaystyle \Omega (n!\cdot n)}$ операций, то есть количество операций, асимптотически пропорциональное факториалу ${\displaystyle n}$ (числу упорядоченных перестановок из ${\displaystyle n}$ элементов). Для больших ${\displaystyle n}$ определитель можно вычислить за ${\displaystyle O(n^{3})}$ операций путём формирования LU-разложения ${\displaystyle A=LU}$, обычно получаемого с помощью метода Гаусса или аналогичных методов, для которого ${\displaystyle \det A=(\det L)(\det U)}$, где определители треугольных матриц ${\displaystyle L}$ и ${\displaystyle U}$ равняются произведениям диагональных элементов матриц. Однако в практических приложениях вычислительной линейной алгебры явное вычисление определителя используется редко[2]. См. также Дифференцирование поисковой функции Формула Лейбница (производной произведения) Примечания Lang, 2004, с. 148 Theorem 2.3. Trefethen & Bau, 1997. Литература Определитель — статья из Математической энциклопедии. Д. И. Супруненко Lloyd N. Trefethen, David Bau. Numerical Linear Algebra. — SIAM, 1997. — ISBN 978-0898713619.