Меню Главная Случайная статья Настройки Цепная линия Материал из https://ru.wikipedia.org Цепная линия, также катенария[1], — линия, форму которой принимает гибкая однородная нерастяжимая тяжёлая нить или цепь (отсюда название линии) с закреплёнными концами в однородном гравитационном поле. Является плоской трансцендентной кривой. Уравнение линии в декартовых координатах: ${\displaystyle y={\frac {a}{2}}(e^{x/a}+e^{-x/a})=a\operatorname {ch} {\frac {x}{a}}}$ (о функции ${\displaystyle \operatorname {ch} }$ см. гиперболический косинус). Все цепные линии подобны одна другой, изменение параметра ${\displaystyle a}$ эквивалентно равномерному растяжению или сжатию графика функции вдоль оси ${\displaystyle x}$. Переменная ${\displaystyle x}$ графика отсчитывается от самой низкой точки на оси ординат цепной линии. Значение этой ординаты равно значению ${\displaystyle a}$. Если значение параметра ${\displaystyle a}$ меньше нуля, то мы имеем не провисающую цепь, а арку. Параметр ${\displaystyle a}$ имеет физический смысл. Это отношение горизонтальной проекции силы, растягивающей цепь, к удельному (линейному) весу цепи. Математические свойства цепной линии впервые изучал Роберт Гук в 1670-х годах, а её уравнение было получено независимо Лейбницем, Гюйгенсом и Иоганном Бернулли в 1691 году. Содержание 1 Свойства 2 Применения 2.1 Арки 2.2 Мосты 2.3 Квадратные колёса 3 История 4 Дополнительные факты 5 См. также 6 Примечания 7 Литература Свойства Мыльная плёнка, натянутая на два соосных параллельных кольца, не обязательно равных диаметров, принимает форму катеноида — поверхности, возникающей в результате вращения цепной линии. Длина дуги от вершины до произвольной точки ${\displaystyle (x,~y)}$: ${\displaystyle s=a\operatorname {sh} {\frac {x}{a}}={\sqrt {y^{2}-a^{2}}}.}$ Радиус кривизны: ${\displaystyle R=a\operatorname {ch} ^{2}{\frac {x}{a}}={\frac {y^{2}}{a}}.}$ Площадь, ограниченная цепной линией, двумя её ординатами и осью абсцисс: ${\displaystyle S=a^{2}\left(\operatorname {sh} {\frac {x_{2}}{a}}-\operatorname {sh} {\frac {x_{1}}{a}}\right)=a\left({\sqrt {y_{2}^{2}-a^{2}}}-{\sqrt {y_{1}^{2}-a^{2}}}\right).}$ Траектория фокуса параболы, катящейся по прямой, есть цепная линия[2][3]. Центр тяжести цепной линии — самый низкий из всех форм нитей равной длины, соединяющих две опоры, т. е. имеет минимум потенциальной энергии[4]. Применения Арки Перевёрнутая цепная линия — идеальная с точки зрения прочности форма для арок. Материал однородной арки с одинаковой по длине линейной плотностью в форме перевёрнутой цепной линии испытывает только механические напряжения сжатия и не испытывает напряжений изгиба. Мосты Горбатый мост имеет форму, близкую к цепной линии. Стоит заметить, что форма изгиба тросов подвесного моста ближе к параболе, чем к цепной линии[5]. Это связано с тем, что основной вес моста распределён в полотне моста, а не в поддерживающих тросах. Квадратные колёса Если профиль шоссе представляет собой перевёрнутые арки цепной линии, то по нему можно ездить на квадратных колёсах[англ.], ровно и без тряски — если сторона квадрата колеса равна длине арки неровности дороги[6][7]. История Уравнение цепной линии практически одновременно получено Лейбницем, Гюйгенсом и Иоганном Бернулли[8]. Дополнительные факты На арке «Ворота на запад» в Сент-Луисе написана математическая формула её цепной линии, выраженная в футах[9]: ${\displaystyle y=-127{,}7'\cdot \operatorname {ch} (x/127{,}7')+757{,}7'.}$ Выраженное в метрах, это уравнение будет ${\displaystyle y=-38{,}92\cdot \operatorname {ch} (x/38{,}92)+230{,}95.}$ См. также Фонтан из цепочки Примечания Цепная линия // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907. Савёлов А. А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения (Справочное руководство) / Под ред. А. П. Нордена. М.: Физматлит, 1960. С. 250. Anurag Agarwal and James Marengo The Locus of the Focus of a Rolling Parabola  (неопр.). Дата обращения: 11 июня 2022. Архивировано 9 июля 2020 года. The Calculus of Variations  (неопр.) (2015). Дата обращения: 3 мая 2019. Архивировано 11 июля 2019 года. Paul Kunkel. Hanging With Galileo (англ.) (HTML). Whistler Alley Mathematics — whistleralley.com. Дата обращения: 24 июля 2012. Архивировано 6 августа 2012 года. Цепная линия  (неопр.). Математические этюды. Дата обращения: 7 апреля 2020. Архивировано 6 мая 2020 года. A Catenary Road and Square Wheels  (неопр.). New Trier High School, Winnetka, Illinois. Дата обращения: 7 апреля 2020. Архивировано 30 сентября 2006 года. Меркин, 1980, с. 47. Литература