Меню

Главная
Случайная статья
Настройки
Чётность нуля
Материал из https://ru.wikipedia.org

Чётность нуля — общепринятый математический факт, который, однако, иногда вызывает сомнения.

То, что ноль — чётное число, сразу следует из определения чётного числа. По определению, чётное число — целое число, которое делится на 2 без остатка. Ноль полностью удовлетворяет этому определению. Он также обладает всеми свойствами чётных чисел — например, он с обеих сторон граничит с нечётными числами.

Ноль также подчиняется всем закономерностям, характерным для других чётных чисел. Правила арифметики, такие как: «разность чётных чисел чётна», предполагают, что 0 тоже должен быть чётным числом:

Тем не менее части людей принять чётность нуля труднее, чем чётность другого натурального числа вроде 2, 4, 6 или 8. Либо они вовсе не могут этого сделать, либо ошибочно видят в нуле нечётное (или имеющее двойственную чётность) число.

Содержание

Почему ноль является чётным

Чтобы доказать, что ноль является чётным, можно непосредственно использовать стандартное определение «чётного числа». Число называют чётным, если это число кратно 2. Например, причиной того, что число 10 является чётным, является то, что оно равно 5 2. В то же время, ноль также является целым кратным 2, то есть 0 2, следовательно, ноль является чётным[1].

Кроме того, можно объяснить, почему ноль является чётным, не применяя формальных определений.

Простые объяснения

Ноль — это число, а числа используются для счёта. Если существует множество объектов, то числа используют, чтобы описать, сколько их. Ноль — это мера в случае, когда нет ни одного объекта; в более формальном смысле, это количество объектов в пустом множестве. Используя понятие чётности, создадим группы по паре объектов. Если объекты множества можно разделить и маркировать по парам без остатка, тогда количество объектов чётное. Если существует объект, не вошедший в группы, тогда количество объектов является нечётным. Пустое множество содержит 0 пар объектов и не имеет никакого остатка от такой группировки, поэтому ноль является чётным[3].

Все эти доводы можно проиллюстрировать, нарисовав объекты по парам. Трудно изобразить нулевые пары или показать отсутствие нечётного остатка, поэтому удобным будет нарисовать другие группы и сравнить их с нулём. Например, в группе из пяти объектов существуют две пары. Кроме того, в ней есть объект, который не относится ни к одной паре — поэтому число 5 является нечётным. В группе из четырёх объектов нет объектов, которые остались, только две пары, поэтому 4 является чётным. В группе только с одним объектом нет пар и есть один остаток, поэтому 1 является нечётным. В группе с нулём объектов нет пар и нет остатка, поэтому 0 является чётным[4][5].

Числа можно изобразить с помощью точек на числовой оси. Если на ней нанести чётные и нечётные числа, их общая закономерность становится очевидной, особенно если добавить и отрицательные числа:

Чётные и нечётные числа чередуются между собой. Нет причины пропустить число ноль[6].

С помощью операции умножения чётность можно определить более формальным образом, используя арифметические выражения. Для каждого целого числа будет актуальна одна из форм: (2 N) + 0 или (2 N) + 1. Первое выражение соответствует чётным числам, а второе нечётным. Например, 1 является нечётным, поскольку 1 = (2 0) + 1, а 0 будет чётным, так как 0 = (2 0) + 0. Если такие выражения записать в таблицу по порядку, снова получим закономерность как на числовой оси[7].

Со стороны математики

Численные результаты теории обращаются к основной теореме арифметики и алгебраическим свойствам чётных чисел, поэтому вышеупомянутое соглашение имеет далеко идущие последствия. Например, факт, что положительные числа имеют уникальную факторизацию, означает, что для отдельного числа можно определить, имеет ли оно чётное или нечётное количество различных простых множителей. Поскольку 1 не является простым числом, а также не имеет простых множителей, оно является пустым произведением простых чисел; поскольку 0 — чётное число, 1 имеет чётное количество простых множителей. Из этого следует, что функция Мёбиуса принимает значение (1) = 1, что необходимо, чтобы она была мультипликативной функцией и работала формула вращения Мёбиуса[8][9].

Ноль является нейтральным элементом по сложению группы чётных чисел, а также базой для рекурсивного определения других чётных натуральных чисел. Применение такой рекурсии по теории графов к вычислительной геометрии полагается на его чётность[прояснить]. Ноль делится не только на 2 — на все её степени. В этом смысле он — «самое чётное» число.

В образовании

Вопрос, является ли ноль чётным числом, поднимался в системе школьного образования Великобритании. Проводились многочисленные опросы мнения школьников по данному вопросу. Выяснилось, что ученики по-разному оценивают чётность нуля: некоторые считают его чётным, некоторые — нечётным, иные полагают, что он является особым числом — и тем и другим одновременно или ни тем ни другим. Причём ученики пятых классов дают правильный ответ чаще, чем ученики шестых классов[11].

Как показали исследования, даже преподаватели в школах и вузах недостаточно осведомлены о чётности нуля. Так, например, порядка 2/3 преподавателей Университета Южной Флориды ответили «нет» на вопрос «Является ли ноль чётным числом?»[12].

Примечания
  1. Penner, 1999, p. 34 Lemma B.2.2, The integer 0 is even and is not odd . Penner uses the mathematical symbol , the existential quantifier, to state the proof: «To see that 0 is even, we must prove that k (0 = 2 k ) and this follows from the equality 0 = 2 0.»
  2. Compare Lichtenberg, 1972, p. 535 Fig. 1
  3. Lichtenberg, 1972, pp. 535—536 «… numbers answer the question How many ? for the set of objects … zero is the number property of the empty set … If the elements of each set are marked off in groups of two … then the number of that set is an even number.»
  4. Lichtenberg, 1972, pp. 535—536 «Zero groups of two stars are circled. No stars are left. Therefore, zero is an even number.»
  5. Dickerson & Pitman, 2012, p. 191
  6. Lichtenberg, 1972, p. 537; compare her Fig. 3. «If the even numbers are identified in some special way … there is no reason at all to omit zero from the pattern.»
  7. Lichtenberg, 1972, pp. 537—538 «At a more advanced level … numbers expressed as (2 ) + 0 are even numbers … zero fits nicely into this pattern.»
  8. Devlin, 1985, pp. 30–33
  9. Dehaene, Bossini & Giraux, 1993, pp. 376–377
  10. Frobisher, 1999, p. 41
  11. Levenson, Tsamir & Tirosh, 2007, pp. 83–95
  12. See data throughout Dehaene, Bossini & Giraux, 1993, and summary by Nuerk, Iversen & Willmes, 2004, p. 837.


Литература
  • Anderson, Ian (2001), A First Course in Discrete Mathematics, London: Springer, ISBN 1-85233-236-0
  • Column 8 readers (2006-03-16), Column 8, The Sydney Morning Herald (First ed.), p. 20, {{citation}}: Википедия:Обслуживание CS1 (числовые имена: authors list) (ссылка)
  • Crumpacker, Bunny (2007), Perfect Figures: The Lore of Numbers and How We Learned to Count, Macmillan, ISBN 0-312-36005-3
  • Cutler, Thomas J. (2008), The Bluejacket's Manual: United States Navy (Centennial ed.), Naval Institute Press, ISBN 1-55750-221-8
  • Dehaene, Stanislas; Bossini, Serge; Giraux, Pascal (1993), The mental representation of parity and numerical magnitude (PDF), Journal of Experimental Psychology: General, 122 (3): 371–396, doi:10.1037/0096-3445.122.3.371, Архивировано (PDF) 19 июля 2011, Дата обращения: 13 сентября 2007
  • Devlin, Keith (Апрель 1985), The golden age of mathematics, New Scientist, 106 (1452)
  • Diagram Group (1983), The Official World Encyclopedia of Sports and Games, Paddington Press, ISBN 0-448-22202-7
  • Dickerson, David S; Pitman, Damien J (Июль 2012), Tai-Yih Tso (ed.), Advanced college-level students' categorization and use of mathematical definitions (PDF), Proceedings of the 36th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, 2: 187–195
  • Dummit, David S.; Foote, Richard M. (1999), Abstract Algebra (2e ed.), New York: Wiley, ISBN 0-471-36857-1
  • Educational Testing Service (2009), Mathematical Conventions for the Quantitative Reasoning Measure of the GRE® revised General Test (PDF), Educational Testing Service, Дата обращения: 6 сентября 2011
  • Freudenthal, H. (1983), Didactical phenomenology of mathematical structures, Dordrecht, The Netherlands: Reidel
  • Frobisher, Len (1999), Anthony Orton (ed.), Primary School Children's Knowledge of Odd and Even Numbers, London: Cassell, pp. 31–48 {{citation}}: Неизвестный параметр |book-title= игнорируется (справка)
  • Gouva, Fernando Quadros (1997), p-adic numbers: an introduction (2nd ed.), Springer-Verlag, ISBN 3-540-62911-4
  • Gowers, Timothy (2002), Mathematics: A Very Short Introduction, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-285361-5
  • Graduate Management Admission Council (Сентябрь 2005), The Official Guide for GMAT Review (11th ed.), McLean, VA: Graduate Management Admission Council, ISBN 0-9765709-0-4
  • Grimes, Joseph E. (1975), The Thread of Discourse, Walter de Gruyter, ISBN 90-279-3164-X
  • Hartsfield, Nora; Ringel, Gerhard (2003), Pearls in Graph Theory: A Comprehensive Introduction, Mineola: Courier Dover, ISBN 0-486-43232-7
  • Hill, Heather C.; Blunk, Merrie L.; Charalambous, Charalambos Y.; Lewis, Jennifer M.; Phelps, Geoffrey C.; Sleep, Laurie; Ball, Deborah Loewenberg (2008), Mathematical Knowledge for Teaching and the Mathematical Quality of Instruction: An Exploratory Study, Cognition and Instruction, 26 (4): 430–511, doi:10.1080/07370000802177235
  • Hohmann, George (25 октября 2007), Companies let market determine new name, Charleston Daily Mail, p. P1C,
  • Kaplan Staff (2004), Kaplan SAT 2400, 2005 Edition, Simon and Schuster, ISBN 0-7432-6035-X
  • Keith, Annie (2006), Mathematical Argument in a Second Grade Class: Generating and Justifying Generalized Statements about Odd and Even Numbers, IAP, ISBN 1-59311-495-8 {{citation}}: Неизвестный параметр |book-title= игнорируется (справка)
  • Krantz, Steven George (2001), Dictionary of algebra, arithmetic, and trigonometry, CRC Press, ISBN 1-58488-052-X
  • Levenson, Esther; Tsamir, Pessia; Tirosh, Dina (2007), Neither even nor odd: Sixth grade students' dilemmas regarding the parity of zero, The Journal of Mathematical Behavior, 26 (2): 83–95, doi:10.1016/j.jmathb.2007.05.004
  • Lichtenberg, Betty Plunkett (Ноябрь 1972), Zero is an even number, The Arithmetic Teacher, 19 (7): 535–538
  • Lorentz, Richard J. (1994), Recursive Algorithms, Intellect Books, ISBN 1-56750-037-4
  • Lovas, William; Pfenning, Frank (22 января 2008), A Bidirectional Refinement Type System for LF, Electronic Notes in Theoretical Computer Science, 196: 113–128, doi:10.1016/j.entcs.2007.09.021, Дата обращения: 16 июня 2012
  • Lovsz, Lszl; Pelikn, Jzsef; Vesztergombi, Katalin L. (2003), Discrete Mathematics: Elementary and Beyond, Springer, ISBN 0-387-95585-2
  • Morgan, Frank (5 апреля 2001), Old Coins, Frank Morgan's Math Chat, The Mathematical Association of America, Дата обращения: 22 августа 2009
  • Nipkow, Tobias; Paulson, Lawrence C.; Wenzel, Markus (2002), Isabelle/Hol: A Proof Assistant for Higher-Order Logic, Springer, ISBN 3-540-43376-7
  • Nuerk, Hans-Christoph; Iversen, Wiebke; Willmes, Klaus (Июль 2004), Notational modulation of the SNARC and the MARC (linguistic markedness of response codes) effect, The Quarterly Journal of Experimental Psychology A, 57 (5): 835–863, doi:10.1080/02724980343000512
  • Partee, Barbara Hall (1978), Fundamentals of Mathematics for Linguistics, Dordrecht: D. Reidel, ISBN 90-277-0809-6
  • Penner, Robert C. (1999), Discrete Mathematics: Proof Techniques and Mathematical Structures, River Edje: World Scientific, ISBN 981-02-4088-0
  • Salzmann, H.; Grundhfer, T.; Hhl, H.; Lwen, R. (2007), The Classical Fields: Structural Features of the Real and Rational Numbers, Cambridge University Press, ISBN 0-521-86516-6
  • Siegel, Robert (19 ноября 1999), Analysis: Today's date is signified in abbreviations using only odd numbers. 1-1, 1-9, 1-9-9-9. The next time that happens will be more than a thousand years from now., All Things Considered, National Public Radio
  • Smock, Doug (6 февраля 2006), The odd bets: Hines Ward vs. Tiger Woods, Charleston Gazette, p. P1B,
  • Snow, Tony (23 февраля 2001), Bubba's fools, Jewish World Review, Дата обращения: 22 августа 2009
  • Sones, Bill; Sones, Rich (8 мая 2002), To hide your age, button your lips, Deseret News, p. C07, Дата обращения: 21 июня 2014
  • Starr, Ross M. (1997), General Equilibrium Theory: An Introduction, Cambridge University Press, ISBN 0-521-56473-5
  • Steinberg, Neil (30 ноября 1999), Even year, odd facts, Chicago Sun-Times (5XS ed.), p. 50,
  • Stewart, Mark Alan (2001), 30 Days to the GMAT CAT, Stamford: Thomson, ISBN 0-7689-0635-0
  • Stingl, Jim (5 апреля 2006), 01:02:03 04/05/06; We can count on some things in life, Milwaukee Journal Sentinel (Final ed.), p. B1, Архивировано 27 апреля 2006, Дата обращения: 21 июня 2014
  • Tabachnikova, Olga M.; Smith, Geoff C. (2000), Topics in Group Theory, London: Springer, ISBN 1-85233-235-2
  • The Math Forum participants (2000), A question around zero, Math Forum » Discussions » History » Historia-Matematica, Drexel University, Дата обращения: 25 сентября 2007
  • Turner, Julian (13 июля 1996), Sports Betting – For Lytham Look to the South Pacific, The Guardian, p. 23,
  • Wilden, Anthony; Hammer, Rhonda (1987), The rules are no game: the strategy of communication, Routledge Kegan & Paul, ISBN 0-7100-9868-5
  • Wise, Stephen (2002), GIS Basics, CRC Press, ISBN 0-415-24651-2
  • Wong, Samuel Shaw Ming (1997), Computational Methods in Physics and Engineering, World Scientific, ISBN 981-02-3043-5
Downgrade Counter