Меню Главная Случайная статья Настройки Эвольвента окружности Материал из https://ru.wikipedia.org Эвольвентой окружности является траектория любой точки прямой линии, перекатываемой по окружности без скольжения. По эвольвенте обрабатывают профиль зубьев зубчатых колёс. Эвольвенту окружности можно получить, сматывая натянутую нить с цилиндрической поверхности. Конец этой нити будет описывать эвольвенту. Содержание 1 Уравнения эвольвенты окружности 2 Построение эвольвенты окружности по заданному диаметру 3 См. также 4 Ссылки и примечания 5 Литература Уравнения эвольвенты окружности Параметрические уравнения эвольвенты окружности следующие[1]: ${\displaystyle x=r(\cos \varphi +\varphi \sin \varphi \,\!),}$ ${\displaystyle y=r(\sin \varphi -\varphi \cos \varphi \,\!),}$ на комплексной плоскости уравнения упрощаются[2]: ${\displaystyle z=r(1-i\varphi )e^{i\varphi },}$ где ${\displaystyle r}$ — радиус окружности; ${\displaystyle \varphi }$ — угол поворота радиуса окружности (полярный угол точки касания прямой и окружности). Натуральное уравнение эвольвенты окружности, то есть зависимость кривизны от длины дуги, имеет вид: ${\displaystyle k(s)={\frac {1}{\sqrt {2rs}}}.}$ Построение эвольвенты окружности по заданному диаметру Имеется окружность диаметра ${\displaystyle d}$ с центром в точке ${\displaystyle O}$. Данную окружность делим на двенадцать равных частей. В точках 2, 3, 4, … проводим касательные к окружности, направленные в одну сторону. Точки эвольвенты находим исходя из того, что при развёртывании окружности точка ${\displaystyle B^{2}}$ должна отстоять от точки 2 на расстоянии, равном длине дуги между точками 1 и 2, а точка ${\displaystyle B^{3}}$ должна отстоять от точки 3 на расстоянии, равном длине дуги между точками 1 и 3 (две длины предыдущей дуги), и т. д. Точное положение точек эвольвенты получим, откладывая по касательным длины соответствующих дуг. Длину дуги между точками 1 и 2 определяем по формуле ${\displaystyle a={\frac {\pi d}{m}},}$ где ${\displaystyle d}$ — диаметр окружности, ${\displaystyle m}$ — число частей, на которое разделена окружность. Получив ряд точек эвольвенты, соединяем их плавной линией. В данном случае окружность диаметра ${\displaystyle d}$ является эволютой к этой эвольвенте. См. также Эвольвента Эвольвентное зацепление Зубчатая передача Ссылки и примечания Савелов А.А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения (справочное руководство). — Москва: ФИЗМАТГИЗ, 1960. — С. 252-254. Zwikker C. The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications, 1963, Chapter . The complex plane, p. 5. Литература Zwikker C.[англ.] The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications[англ.]The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications. New York: Dover Publications, Inc., 1963. 299 p. ISBN 0486610780. ISBN 9780486610788.