Меню Главная Случайная статья Настройки Эволюта Материал из https://ru.wikipedia.org Эволюта (от лат. evolutus «развёрнутый») плоской кривой — геометрическое место точек, являющихся центрами кривизны исходной кривой[1]. Эволюта — огибающая нормалей, проведённых в каждой точке плоской кривой[2]. По отношению к своей эволюте любая кривая является эвольвентой. Содержание 1 Уравнения 2 Примеры 3 См. также 4 Примечания 5 Литература Уравнения Если линия задана параметрическими уравнениями ${\displaystyle X=x(t),\ Y=y(t)}$, то её эволюта имеет уравнение: ${\displaystyle X=x(t)-y'{\frac {x'^{2}+y'^{2}}{x'y''-x''y'}},}$ ${\displaystyle Y=y(t)+x'{\frac {x'^{2}+y'^{2}}{x'y''-x''y'}}}$ В частности, если ${\displaystyle t}$ является натуральным параметром кривой ${\displaystyle {\vec {r}}(t)}$, то её эволюта может быть задана[2] уравнением: ${\displaystyle {\vec {r}}(t)+{\frac {1}{k(t)}}{\vec {n}}(t)}$, где ${\displaystyle {\vec {n}}}$ — единичный вектор нормали кривой, направленный в сторону центра кривизны, ${\displaystyle k}$ — кривизна. Примеры Вытянутая астроида ${\displaystyle x={\frac {a^{2}-b^{2}}{a}}\cos ^{3}t,\quad y={\frac {b^{2}-a^{2}}{b}}\sin ^{3}t}$ является эволютой эллипса ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$. Эволюта астроиды подобна ей, но вдвое больше неё и повёрнута относительно неё на 45°. Эволюта циклоиды является циклоидой, конгруэнтной исходной и параллельно сдвинутой от исходной так, что вершины переходят в её каспы. Эти свойства открыты Христианом Гюйгенсом; они были им использованы при создании точных механических часов, собственная частота маятника в которых не зависит от амплитуды колебаний. См. также Эвольвента Параллельная кривая Соприкасающаяся окружность Примечания Эволюта, 1988. 1 2 Эволюта — статья из Математической энциклопедии. Д. Д. Соколов Литература В. Бляшке. Диференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна / М. Я. Выгодский (перевод с немецкого). — М.: ОНТИ, 1935. — 331 с. Эволюта // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 640—641.