Меню Главная Случайная статья Настройки Распределение Вейбулла Материал из https://ru.wikipedia.org Распределение Вейбулла в теории вероятностей — двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Названо в честь Валодди Вейбулла, детально охарактеризовавшего его в 1951, хотя впервые его определил Фреше в 1927, а применено оно было ещё в 1933 для описания распределения размеров частиц. Содержание 1 Определение 2 Свойства 2.1 Функция плотности 2.2 Функция распределения 3 Моменты 3.1 Производящая функция моментов 3.2 Информационная энтропия 3.3 Оценка коэффициентов 3.3.1 Наибольшее правдоподобие 4 Условная функция надёжности Вейбулла 5 График Вейбулла 6 Использование 7 Связь с другими распределениями 8 Примечания 9 Литература 10 Ссылки Определение Пусть распределение случайной величины ${\displaystyle X}$ задаётся плотностью ${\displaystyle f_{X}(x)}$, имеющей вид: ${\displaystyle f_{X}(x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k}},&x\geq 0\\0,&x<0\end{matrix}}\right..}$ Тогда говорят, что ${\displaystyle X}$ имеет распределение Вейбулла. Пишут: ${\displaystyle X\sim \mathrm {W} (k,\lambda )}$. Если величину X принять за наработку до отказа, тогда получается распределение, в котором интенсивность отказов пропорциональна времени. Тогда: В материаловедении коэффициент Свойства Функция плотности Вид функции плотности распределения Вейбулла сильно зависит от значения k. Для 0 < Функция распределения Функция распределения Вейбулла: ${\displaystyle F(x;k,\lambda )=1-e^{-(x/\lambda )^{k}}}$ при x 0, и F(x; k; ) = 0 при x < 0 Квантиль распределения Вейбулла: ${\displaystyle Q(p;k,\lambda )=\lambda {(-\ln(1-p))}^{1/k}}$ при 0 p < 1. Интенсивность отказов h: ${\displaystyle h(x;k,\lambda )={k \over \lambda }\left({x \over \lambda }\right)^{k-1}.}$ Моменты Производящая функция моментов логарифма случайной величины, имеющей распределение Вейбулла ${\displaystyle \mathbb {E} \left[e^{t\log X}\right]=\lambda ^{t}\Gamma \left({\frac {t}{k}}+1\right),}$ где  — это гамма-функция. Аналогично, Характеристическая функция логарифма X задаётся ${\displaystyle \mathbb {E} \left[e^{it\log X}\right]=\lambda ^{it}\Gamma \left({\frac {it}{k}}+1\right).}$ Моменты случайной величины ${\displaystyle X}$, имеющей распределение Вейбулла имеют вид ${\displaystyle \mathbb {E} \left[X^{n}\right]=\lambda ^{n}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right)}$, где ${\displaystyle \Gamma }$ — гамма-функция, откуда ${\displaystyle \mathbb {E} [X]=\lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)}$, ${\displaystyle \mathrm {D} [X]=\lambda ^{2}\left[\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\Gamma ^{2}\left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right]}$. Коэффициент асимметрии задаётся функцией ${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {\Gamma \left(1+{\frac {3}{k}}\right)\lambda ^{3}-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}}$ Коэффициент эксцесса ${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {-6\Gamma _{1}^{4}+12\Gamma _{1}^{2}\Gamma _{2}-3\Gamma _{2}^{2}-4\Gamma _{1}\Gamma _{3}+\Gamma _{4}}{[\Gamma _{2}-\Gamma _{1}^{2}]^{2}}},}$ где ${\displaystyle \Gamma _{i}=\Gamma (1+i/k)}$, так же может быть записан: ${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {\lambda ^{4}\Gamma (1+{\frac {4}{k}})-4\gamma _{1}\sigma ^{3}\mu -6\mu ^{2}\sigma ^{2}-\mu ^{4}}{\sigma ^{4}}}-3}$ Производящая функция моментов Существует множество выражений для производящей функции моментов самой ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {E} \left[e^{tX}\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right).}$ Так же можно работать непосредственно с интегралом ${\displaystyle \mathbb {E} \left[e^{tX}\right]=\int _{0}^{\infty }e^{tx}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}\,dx.}$ Если коэффициент k предполагается рациональным числом, выраженным k = p/q, где p и q целые, то интеграл может быть вычислен аналитически.[1] С заменой t на -t, получается ${\displaystyle \mathbb {E} \left[e^{-tX}\right]={\frac {1}{\lambda ^{k}\,t^{k}}}\,{\frac {p^{k}\,{\sqrt {q/p}}}{({\sqrt {2\pi }})^{q+p-2}}}\,G_{p,q}^{\,q,p}\!\left(\left.{\begin{matrix}{\frac {1-k}{p}},{\frac {2-k}{p}},\dots ,{\frac {p-k}{p}}\\{\frac {0}{q}},{\frac {1}{q}},\dots ,{\frac {q-1}{q}}\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {p^{p}}{\left(q\,\lambda ^{k}\,t^{k}\right)^{q}}}\right),}$ где G — это G-функция Мейера. Информационная энтропия Информационная энтропия задаётся таким образом ${\displaystyle H(\lambda ,k)=\gamma \left(1\!-\!{\frac {1}{k}}\right)+\ln \left({\frac {\lambda }{k}}\right)+1,}$ где ${\displaystyle \gamma }$ — это Постоянная Эйлера — Маскерони. Оценка коэффициентов Оценка максимального правдоподобия для коэффициента ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\hat {\lambda }}^{k}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}}$ Для ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\hat {k}}^{-1}={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}\ln x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}}}-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln x_{i}}$ Условная функция надёжности Вейбулла Для 2-х параметрического распределения Вейбулла функция имеет вид: ${\displaystyle R(t|T)={\frac {R(T+t)}{R(T)}}={\frac {e^{-\left({\frac {T+t}{\lambda }}\right)^{k}}}{e^{-\left({\frac {T}{\lambda }}\right)^{k}}}}}$ или ${\displaystyle R(t|T)=e^{-\left[\left({\frac {T+t}{\lambda }}\right)^{k}-\left({\frac {T}{\lambda }}\right)^{k}\right]}}$ Для 3-х параметрического: ${\displaystyle R(t|T)={\frac {R(T+t)}{R(T)}}={\frac {e^{-\left({\frac {T+t-\theta }{\lambda }}\right)^{k}}}{e^{-\left({\frac {T-\theta }{\lambda }}\right)^{k}}}}}$ Она называется условной, потому что показывает вероятность того, что объект проработает ещё ${\displaystyle t}$ времени при условии, что он уже проработал ${\displaystyle T}$. График Вейбулла Данные распределения Вейбулла визуально могут быть оценены с использованием графика Вейбулла[2] . Это график типа Q-Q выборочной функции распределения со специальными осями. Оси — ${\displaystyle \ln(-\ln(1-{\hat {F}}(x)))}$ и ${\displaystyle \ln(x)}$ Причина изменения переменных в том, что выборочная функция распределения Вейбулла может быть представлена в линейном виде ${\displaystyle {\begin{aligned}F(x)&=1-e^{-(x/\lambda )^{k}}\\-\ln(1-F(x))&=(x/\lambda )^{k}\\\underbrace {\ln(-\ln(1-F(x)))} _{\textrm {'y'}}&=\underbrace {k\ln x} _{\textrm {'mx'}}-\underbrace {k\ln \lambda } _{\textrm {'c'}}\end{aligned}}}$ Поэтому если данные получены из распределения Вейбулла, на графике Вейбулла можно ожидать прямую линию. Есть множество способов получения выборочной функции распределения из данных: один из методов заключается в том, чтобы получить вертикальную координату каждой точки, используя ${\displaystyle {\hat {F}}={\frac {i-0.3}{n+0.4}}}$, где ${\displaystyle i}$ — это ранг точки данных, а ${\displaystyle n}$ — это общее количество точек.[3] Использование Распределение Вейбулла используется: В анализе выживаемости В надёжности и анализе отказов В электротехнике для представления перенапряжения, возникающего в электрических цепях В промышленной инженерии В теории экстремальных значений В прогнозировании погоды Для описания распределения скорости ветра как распределения, обычно совпадающего с распределением Вейбулла в ветроэнергетике В радиолокационных системах для моделирования дисперсии уровня принимаемого сигналов, создаваемой некоторыми типами помех В моделировании замирания сигнала в беспроводных коммуникациях В прогнозировании технологических изменений В гидрологии распределение Вейбулла применимо к экстремальным событиям, таким как выпадение годовой нормы дождей за день или разливу реки. На рисунке показано такое соответствие, а также 90 % доверительный интервал, основанный на биномиальном распределении. В описании размера частиц, полученных путём размельчения, помола или дробления Из-за доступности используется в электронных таблицах, когда основное поведение в действительности лучше описывается распределением Эрланга Связь с другими распределениями 3-параметрическое распределение Вейбулла. Имеет функцию плотности ${\displaystyle f(x;k,\lambda ,\theta )={k \over \lambda }\left({x-\theta \over \lambda }\right)^{k-1}e^{-({x-\theta \over \lambda })^{k}}}$ где ${\displaystyle x\geq \theta }$ и f(x; k, , ) = 0 при x < , где ${\displaystyle k>0}$ — коэффициент формы, ${\displaystyle \lambda >0}$ — коэффициент масштаба и ${\displaystyle \theta }$ — коэффициент сдвига распределения. Когда =0, оно сводится к 2-х параметрическому распределению Вейбулла. 1-параметрическое распределение Вейбулла. Выводится предполагая ${\displaystyle \theta =0}$ и ${\displaystyle k=C}$ — константа: ${\displaystyle f(t)={\frac {C}{\lambda }}\left({\frac {t}{\lambda }}\right)^{C-1}e^{-\left({\frac {t}{\lambda }}\right)^{C}}}$ Распределение Вейбулла может быть получено как функция от экспоненциального. Если ${\displaystyle X}$ — экспоненциальное распределение ${\displaystyle \operatorname {Exp} (\lambda )}$ для параметра ${\displaystyle \lambda }$, то случайная величина ${\displaystyle Y=X^{1/k}~(k>0)}$ имеет распределение Вейбулла ${\displaystyle \operatorname {W} (\lambda ^{1/k},k)}$. Для доказательства рассмотрим функцию распределения ${\displaystyle Y}$: ${\displaystyle F_{Y}(y)=P(Y<y)=P(X^{1/k}<y)=P(X<y^{k})=1-e^{-\lambda \cdot y^{k}}=1-e^{-(\lambda ^{1/k}\cdot y)^{k}},~y>0}$ Полученная функция — функция распределения для распределения Вейбулла. Метод обратного преобразования: если ${\displaystyle U\sim \mathrm {U} (0,1)}$, то ${\displaystyle \lambda \left(-\ln U\right)^{1/k}\sim \mathrm {W} (k,\lambda )}$. С распределением Фреше: если ${\displaystyle \mathrm {X} \sim {\textrm {Weibull}}(k=\alpha ,\lambda =m)}$ , то ${\displaystyle {\tfrac {m^{2}}{\mathrm {X} }}\sim {\textrm {Frechet}}(\alpha ,s,m)}$. С распределением Гумбеля: если ${\displaystyle \mathrm {X} \sim {\textrm {Weibull}}}$ , то ${\displaystyle \log(X)\sim {\textrm {Gumbel}}}$. Распределение Рэлея — частный случай распределения Вейбулла при ${\displaystyle k=2}$ и ${\displaystyle \lambda ={\sqrt {2}}\sigma }$[4] Распределение Вейбулла является частным случаем обобщённого распределения экстремальных значений[5] Впервые распределение Вейбулла было применено для описания распределения размера частиц. Широко использовалось в обогащении полезных ископаемых при измельчении. В этом контексте функция распределения имеет вид ${\displaystyle f(x;P_{\rm {80}},m)={\begin{cases}1-e^{ln\left(0.2\right)\left({\frac {x}{P_{\rm {80}}}}\right)^{m}}&x\geq 0,\\0&x<0,\end{cases}}}$ где ${\displaystyle x}$: Размер частицы ${\displaystyle P_{\rm {80}}}$: 80-й процентиль распределения размера частиц ${\displaystyle m}$: Коэффициент, описывающий размах распределения Примечания См. (Cheng, Tellambura & Beaulieu 2004) для случая целого k, и (Sagias & Karagiannidis 2005) в случае рационального. график Вейбулла  (неопр.). Дата обращения: 20 сентября 2015. Архивировано 25 марта 2008 года. Wayne Nelson (2004) Applied Life Data Analysis. Wiley-Blackwell ISBN 0-471-64462-5 Rayleigh Distribution — MATLAB & Simulink — MathWorks Australia  (неопр.). Дата обращения: 21 сентября 2015. Архивировано 12 октября 2014 года. Всемирная Метеорологическая Организация. Руководство по гидрологической практике. — 6. — Швейцария, 2012. — Т. 2. — С. 165. — ISBN 978-92-63-40168-7.. Литература Frchet, Maurice (1927), Sur la loi de probabilit de l'cart maximum, Annales de la Socit Polonaise de Mathematique, Cracovie, 6: 93–116. Johnson, Norman L.; Kotz, Samuel; Balakrishnan, N. (1994), Continuous univariate distributions. Vol. 1, Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics: Applied Probability and Statistics (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-58495-7, MR 1299979 Muraleedharan, G.; Rao, A.D.; Kurup, P.G.; Nair, N. Unnikrishnan; Sinha, Mourani (2007), Modified Weibull Distribution for Maximum and Significant Wave Height Simulation and Prediction, Coastal Engineering, 54 (8): 630–638, doi:10.1016/j.coastaleng.2007.05.001 Muraleedharan, G.; Soares, C.G. (2014), Characteristic and Moment Generating Functions of Generalised Pareto (GP3) and Weibull Distributions, Journal of Scientific Research and Reports, 3 (14): 1861–1874, doi:10.9734/JSRR/2014/10087. Rosin, P.; Rammler, E. (1933), The Laws Governing the Fineness of Powdered Coal, Journal of the Institute of Fuel, 7: 29–36. Sagias, Nikos C.; Karagiannidis, George K. (2005), Gaussian class multivariate Weibull distributions: theory and applications in fading channels (PDF), Institute of Electrical and Electronics Engineers. Transactions on Information Theory, 51 (10): 3608–3619, doi:10.1109/TIT.2005.855598, ISSN 0018-9448, MR 2237527{{citation}}: Википедия:Обслуживание CS1 (url-status) (ссылка) Weibull, W. (1951), A statistical distribution function of wide applicability (PDF), J. Appl. Mech.-Trans. ASME, 18 (3): 293–297. Engineering statistics handbook  (неопр.). National Institute of Standards and Technology (2008). Nelson, Jr, Ralph. Dispersing Powders in Liquids, Part 1, Chap 6: Particle Volume Distribution  (неопр.) (5 февраля 2008). Дата обращения: 5 февраля 2008. Архивировано 13 февраля 2008 года. Левин Б.Р. Справочник по надежности. — Справочник по надежности/Под ред. Левина Б.Р., в 3 томах, Т.1. М.: Мир, 1969 г., 339 с.. — М.: Мир, 1969. — С. 176. — 339 с. J. Cheng, C. Tellambura, and N. C. Beaulieu Performance analysis of digital modulations on Weibull fading channels / Proc. IEEE Veh. Technol. Conf. 2004. Ссылки Примеры графиков функции распределения Вейбулла (англ.) Распределение Вейбулла (англ.) Weibull Distribution (англ.) Построение графиков распределения Вейбулла в excel (рус.)