Меню Главная Случайная статья Настройки q-аналог Материал из https://ru.wikipedia.org Q-аналог теоремы, тождества или выражения — это обобщение, вовлекающее новый параметр q, возвращающий исходную теорему, тождество или выражение в пределе при q 1. Обычно математики интересуются q-аналогами, появляющимися естественным образом, а не выдумывают произвольные q-аналоги для известных результатов. Наиболее ранним q-аналогом являются базисные гипергеометрические ряды[англ.], которые изучались в XIX веке[1]. Q-аналоги чаще всего используются в комбинаторике и в теории специальных функций. В этих условиях предел Q-аналоги появляются при изучении квантовых групп и в q-возмущённых супералгебрах[англ.]. Связь здесь похожа на то, как теория струн строится на языке римановых поверхностей, что приводит к связи с эллиптическими кривыми, которые, в свою очередь, связаны с q-рядами[англ.]. Содержание 1 «Классическая» q-теория 1.1 Q-аналоги в комбинаторике 2 q 1 3 Применение в физике 4 См. также 5 Примечания 6 Литература 7 Ссылки «Классическая»q-теория Классическая q-теория начинается с q-аналогов для неотрицательных целых чисел[2]. Равенство ${\displaystyle \lim _{q\rightarrow 1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}=n}$ предполагает, что мы определяем q-аналог числа n, известный как q-скобка или q-число числа n, равным ${\displaystyle [n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}=1+q+q^{2}+\ldots +q^{n-1}.}$ Выбор среди прочих возможностей конкретно этого q-аналога не имеет определённой причины, однако аналог возникает естественным образом в нескольких контекстах. Например, если решаем использовать обозначение [n]q для q-аналога числа n, можно определить q-аналог факториала, который известен как q-факториал, следующим образом ${\displaystyle {\begin{aligned}{\big [}n]_{q}!&=[1]_{q}\cdot [2]_{q}\cdots [n-1]_{q}\cdot [n]_{q}\\[6pt]&={\frac {1-q}{1-q}}\cdot {\frac {1-q^{2}}{1-q}}\cdots {\frac {1-q^{n-1}}{1-q}}\cdot {\frac {1-q^{n}}{1-q}}\\[6pt]&=1\cdot (1+q)\cdots (1+q+\cdots +q^{n-2})\cdot (1+q+\cdots +q^{n-1}).\end{aligned}}}$ Этот q-аналог появляется естественным образом в нескольких контекстах. Что примечательно, в то время как n! подсчитывает число перестановок длины n, [n]q! подсчитывает перестановки с учётом числа инверсий[англ.]. То есть, если inv(w) означает число инверсий перестановки w, а Sn — множество перестановок длины n, мы имеем ${\displaystyle \sum _{w\in S_{n}}q^{{\text{inv}}(w)}=[n]_{q}!}$ В частности, можно получить привычный факториал путём перехода к пределу ${\displaystyle q\rightarrow 1}$. Q-факториал имеет также краткое определение в терминах q-символа Похгаммера, базового строительного блока всех q-теорий: ${\displaystyle [n]_{q}!={\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}.}$ От q-факториалов можно перейти к q-биномиальным коэффициентам, известным также как гауссовы коэффициенты, гауссовы многочлены или гауссовы биномиальные коэффициенты: ${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}={\frac {[n]_{q}!}{[n-k]_{q}![k]_{q}!}}.}$ Q-степень[англ.] определяется как ${\displaystyle e_{q}^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{[n]_{q}!}}.}$ Тригонометрические q-функции, вместе с q-преобразованием Фурье, определяются в этом же контексте. Q-аналоги в комбинаторике Гауссовы коэффициенты подсчитывают подпространства конечного векторного пространства. Пусть q — число элементов конечного поля (Число q тогда равно степени простого числа, q = pe, так что использование буквы q целесообразно). Тогда число k-мерных подпространств n-мерного векторного пространства над полем с q элементами равно ${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}.}$ При стремлении q к 1 мы получаем биномиальный коэффициент ${\displaystyle {\binom {n}{k}},}$ или, другими словами, число k-элементных подмножеств множества с n элементами. Таким образом, можно рассматривать конечное векторное пространство как q-обобщение множества, а подпространства как q-обобщение подмножеств этого множества. Это плодотворная точка зрения для поиска интересных теорем. Например, имеются q-аналоги теоремы Шпернера[англ.] и теории Рамсея. q 1 Обратно разрешению менять q и рассмотрению q-аналогов как отклонений можно рассматривать комбинаторный случай q = 1 как предел q-аналогов q  1 (часто невозможно просто подставить q = 1 в формулу, так что приходится брать предел). Это можно формализовать в поле с одним элементом[англ.], где комбинаторика представляется как линейная алгебра над полем с одним элементом. Например, группы Вейля являются просто алгебраическими группами над полем с одним элементом. Применение в физике Q-аналоги часто обнаруживаются в точных решениях задач многих тел. В таких случаях предел при Примером из атомной физики является модель создания молекулярного конденсата из ультрахолодного фермионного газа в условиях выметания внешнего магнитного поля с помощью резонанса Фешбаха[3]. Этот процесс описывается моделью с q-возмущённой версией алгебры операторов SU(2) и решение описывается q-возмущёнными показательными и биномиальными распределениями. См. также Список q-аналогов[англ.] Числа Стирлинга Диаграмма Юнга Примечания Exton, 1983. Ernst, 2003, с. 487–525. Sun, Sinitsyn, 2016, с. 033808. Литература Exton H. q-Hypergeometric Functions and Applications. — New York: Halstead Press, 1983. — ISBN 0853124914. — ISBN 0470274530. — ISBN 978-0470274538. Thomas Ernst. A Method for q-calculus // Journal of Nonlinear Mathematical Physics. — 2003. — Т. 10, вып. 4. — С. 487–525. Sun C., Sinitsyn N. A. Landau-Zener extension of the Tavis-Cummings model: Structure of the solution // Phys. Rev. A. — 2016. — Т. 94, вып. 3. — doi:10.1103/PhysRevA.94.033808. — . Ссылки q-analog from MathWorld q-bracket from MathWorld q-factorial from MathWorld q-binomial coefficient from MathWorld