Меню Главная Случайная статья Настройки q-символ Похгаммера Материал из https://ru.wikipedia.org Q-символ Похгаммера, который называется также сдвинутым q-факториалом[1][2], это q-аналог символа Похгаммера и определяется он как ${\displaystyle (a;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1-aq^{2})\cdots (1-aq^{n-1})}$, при этом ${\displaystyle (a;q)_{0}=1}$ по определению. Q-символ Похгаммера является главным строительным блоком в строительстве q-аналогов. Например, в теории базисных гипергеометрических рядов[англ.] q-символ Похгаммера играет роль, какую играет обычный символ Похгаммера в теории обобщённых гипергеометрических рядов[англ.]. В отличие от обычного символа Похгаммера, q-символ Похгаммера может быть расширен до бесконечного произведения: ${\displaystyle (a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k}).}$ Это аналитическая функция от q внутри единичного круга и может восприниматься как формальный степенной ряд от q. Специальный случай ${\displaystyle \varphi (q)=(q;q)_{\infty }=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k})}$ известен как функция Эйлера[англ.] и играет важную роль в комбинаторике, теории чисел и теории модулярных форм. Содержание 1 Тождества 2 Комбинаторная интерпретация 3 Соглашение о множественных аргументах 4 Q-ряды 5 Связь с другими q-функциями 6 См. также 7 Примечания 8 Литература 9 Ссылки Тождества Конечное произведение можно выразить через бесконечное: ${\displaystyle (a;q)_{n}={\frac {(a;q)_{\infty }}{(aq^{n};q)_{\infty }}},}$ что расширяет определение для отрицательных целых n. Таким образом, для неотрицательного n имеем ${\displaystyle (a;q)_{-n}={\frac {1}{(aq^{-n};q)_{n}}}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {1}{(1-a/q^{k})}}}$ и ${\displaystyle (a;q)_{-n}={\frac {(-q/a)^{n}q^{n(n-1)/2}}{(q/a;q)_{n}}}.}$ Q-символ Похгаммера участвует во многих тождествах с q-рядами, в частности в бесконечном расширении рядов ${\displaystyle (x;q)_{\infty }=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}q^{n(n-1)/2}}{(q;q)_{n}}}x^{n}}$ и ${\displaystyle {\frac {1}{(x;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{(q;q)_{n}}}}$, которые являются частными случаями q-биномиальной теоремы: ${\displaystyle {\frac {(ax;q)_{\infty }}{(x;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}x^{n}.}$ Фридрих Карпелевич нашёл следующее тождество (см. статью Ольшанецкого и Рогова[3] для доказательства): ${\displaystyle {\frac {(q;q)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}q^{n(n+1)/2}}{(q;q)_{n}(1-zq^{n})}},\ |z|<1.}$ Комбинаторная интерпретация Q-символ Похгаммера тесно связан с перечислительной комбинаторикой разбиений. Коэффициент при ${\displaystyle q^{m}a^{n}}$ в ${\displaystyle (a;q)_{\infty }^{-1}=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k})^{-1}}$ равен числу разбиений m на не более чем n частей. Поскольку это то же самое, что разбиение m на части, каждая из которых не превосходит n, получаем следующее тождество: ${\displaystyle (a;q)_{\infty }^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }\left(\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{1-q^{j}}}\right)a^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a^{k}}{(q;q)_{k}}}}$, как в разделе выше. Коэффициент при ${\displaystyle q^{m}a^{n}}$ в ${\displaystyle (-a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1+aq^{k})}$ равен числу разбиений числа m на n или n-1 различных частей. Если удалить треугольное разбиение с n 1 частями из такого разбиения, мы останемся с некоторым разбиением на не более чем n частей. Это даёт сохраняющее веса биекцию между множеством разбиений на n или n 1 различных частей и множество пар, состоящих из треугольного разбиения, содержащего n 1 частей, и разбиения на не более чем n частей. Это приводит к тождеству: ${\displaystyle (-a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1+aq^{k})=\sum _{k=0}^{\infty }\left(q^{k \choose 2}\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{1-q^{j}}}\right)a^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {q^{k \choose 2}}{(q;q)_{k}}}a^{k}}$ также описанному выше. Обратная (в смысле 1/f) функция для ${\displaystyle (q)_{\infty }:=(q;q)_{\infty }}$ возникает аналогичным образом как производящая функция для функции разбиения числа, ${\displaystyle p(n)}$, которая также разлагается в следующие два q-ряда[4]: ${\displaystyle {\frac {1}{(q;q)_{\infty }}}=\sum _{n\geq 0}p(n)q^{n}=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n}}{(q;q)_{n}}}=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}}{(q;q)_{n}^{2}}}.}$ Q-биномиальная теорема сама может быть доказана с помощью слегка большего использования похожих комбинаторных аргументов. Соглашение о множественных аргументах Поскольку тождества, использующие q-символы Похгаммера, часто используют произведение многих символов, принято соглашение записывать произведение в виде одного символа с несколькими аргументами: ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m};q)_{n}=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\ldots (a_{m};q)_{n}.}$ Q-ряды Q-ряд является рядом, в котором коэффициенты являются функциями от q, обычно в виде выражений с ${\displaystyle (a;q)_{n}}$[4]. Ранние результаты принадлежат Эйлеру, Гауссу и Коши. Систематичное изучение начал Эдуард Гейне (1843)[5]. Связь с другимиq-функциями Принимая во внимание, что ${\displaystyle \lim _{q\rightarrow 1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}=n,}$ мы определяем q-аналог числа n, известный также как q-скобка или q-число числа n, равным ${\displaystyle [n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}.}$ Отсюда мы можем определить q-аналог факториала, q-факториал ${\displaystyle {\big [}n]_{q}!}$ ${\displaystyle =\prod _{k=1}^{n}[k]_{q}}$ ${\displaystyle =[1]_{q}[2]_{q}\cdots [n-1]_{q}[n]_{q}}$ ${\displaystyle ={\frac {1-q}{1-q}}{\frac {1-q^{2}}{1-q}}\cdots {\frac {1-q^{n-1}}{1-q}}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}}$ ${\displaystyle =1(1+q)\cdots (1+q+\cdots +q^{n-2})(1+q+\cdots +q^{n-1})}$ ${\displaystyle ={\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}.}$ Снова можно обнаружить, что обычный факториал равен пределу при q, стремящемся к 1. Это можно интерпретировать как число флагов в n-мерном векторном пространстве над полем с q элементами, а переход q в пределе к 1 даёт интерпретацию упорядочения как флага в векторном пространстве над полем с одним элементом[англ.]. Произведение отрицательных целых q-скобок можно выразить в терминах q-факториала следующим образом: ${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}[-k]_{q}={\frac {(-1)^{n}\,[n]_{q}!}{q^{n(n+1)/2}}}}$ От q-факториалов можно перейти к определению q-биномиальных коэффициентов, известных также как гауссовы коэффициенты, гауссовы многочлены или гауссовы биномиальные коэффициенты, следующим образом ${\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}={\frac {[n]_{q}!}{[n-k]_{q}![k]_{q}!}},}$ откуда легко видеть, что треугольник этих коэффициентов симметричен в том смысле, что ${\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix}}_{q}={\begin{bmatrix}n\\n-m\end{bmatrix}}_{q}}$ для всех ${\displaystyle 0\leqslant m\leqslant n}$. Можно показать, что ${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}n+1\\k\end{bmatrix}}_{q}&={\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}+q^{n-k+1}{\begin{bmatrix}n\\k-1\end{bmatrix}}_{q}\\&={\begin{bmatrix}n\\k-1\end{bmatrix}}_{q}+q^{k}{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}.\end{aligned}}}$ Можно заметить из предыдущих рекурсивных отношений, что следующие варианты ${\displaystyle q}$-биномиальной теоремы являются расширениями в терминах этих коэффициентов[6]: ${\displaystyle {\begin{aligned}(z;q)_{n}&=\sum _{j=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}}_{q}(-z)^{j}q^{\binom {j}{2}}=(1-z)(1-qz)\cdots (1-zq^{n-1})\\(-q;q)_{n}&=\sum _{j=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}}_{q^{2}}q^{j}\\(q;q^{2})_{n}&=\sum _{j=0}^{2n}{\begin{bmatrix}2n\\j\end{bmatrix}}_{q}(-1)^{j}\\{\frac {1}{(z;q)_{m+1}}}&=\sum _{n\geq 0}{\begin{bmatrix}n+m\\n\end{bmatrix}}_{q}z^{n}.\end{aligned}}}$ Можно получить q-аналог гамма-функции, называемый q-гамма-функцией[англ.] и определённый как ${\displaystyle \Gamma _{q}(x)={\frac {(1-q)^{1-x}(q;q)_{\infty }}{(q^{x};q)_{\infty }}}}$ Функция сходится к обычной гамма-функции при q, стремящемся к 1 изнутри диска. Заметим, что ${\displaystyle \Gamma _{q}(x+1)=[x]_{q}\Gamma _{q}(x)}$ для любого x и ${\displaystyle \Gamma _{q}(n+1)=[n]_{q}!{\frac {}{}}.}$ для неотрицательных целочисленных значений n. Альтернативно, функцию можно взять как расширение q-факториала в системе вещественных чисел. См. также Базисные гипергеометрические ряды[англ.] Эллиптическая гамма-функция[англ.] Тета-функция Якоби Символ Похгаммера q-производная q-тэта-функция[англ.] Теорема о пятиугольных числах[англ.] Тождества Роджерса — Рамануджана[англ.] Непрерывная дробь Роджерса — Рамануджана[англ.] q-тождество Вандермонда[англ.] Примечания Koekoek, Swarttouw, 1998, с. 7. Бахтин, 2017, с. 6-7. Ольшанецкий, Рогов, 1996. 1 2 Berndt, 2010. Heine, 1847. Olver и др., 2010, с. 421. Литература Koekoek R., Swarttouw R. F. The Askey-Scheme of Hypergeometric Orthogonal Polynomials and its -Analogue // Faculty of Technical Mathematics and Informatics Report 98-17. — Delft, Netherlands: Technische Universiteit Delft, 1998. — С. 7. Roelof Koekoek, Rene F. Swarttouw. The Askey scheme of orthogonal polynomials and its q-analogues. Ольшанецкий М.А., Рогов В.-Б.К. Модифицированные q-функции Бесселя и q-функции Макдональда // Матем. сб.. — 1996. — Т. 187, № 10. — С. 109-128. Berndt B. C. Proceedings of a Conference on Elliptic Functions, Partitions, and q-Series in memory of K. Venkatachaliengar: Bangalore, 1–5 June 2009 / N. D. Baruah, B. C. Berndt, S. Cooper, T. Huber, and M. J. Schlosser, eds.. — Mysore: Ramanujan Mathematical Society, 2010. — С. 31-51. Heine E. Untersuchungen ber die Reihe // J. Reine Angew. Math.. — 1847. — Т. 34. — С. 285-328. Ссылки Weisstein, Eric W. q-Analog (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. Weisstein, Eric W. q-Bracket (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. Weisstein, Eric W. q-Factorial (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. Weisstein, Eric W. q-Series (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. Weisstein, Eric W. q-Binomial Coefficient (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.