Меню Главная Случайная статья Настройки Автокорреляционная функция Материал из https://ru.wikipedia.org Автокорреляционная функция (АКФ) — зависимость взаимосвязи между функцией (сигналом) и её сдвинутой по аргументу функции копией от величины сдвига. Для детерминированных сигналов автокорреляционная функция (АКФ) сигнала ${\displaystyle f(t)}$ определяется интегралом: ${\displaystyle B(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)f^{*}(t+\tau )dt=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)f^{*}(t-\tau )dt,}$ и показывает связь сигнала (функции ${\displaystyle \;f(t)}$) с копией самого себя, смещённого на величину ${\displaystyle \tau }$. Звёздочка означает комплексное сопряжение. Для случайных процессов АКФ случайного процесса ${\displaystyle X(t)}$ имеет вид[1][2]: ${\displaystyle B(t,t-\tau )=\mathbb {E} [X(t)X^{*}(t-\tau )]=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }x_{1}x_{2}^{*}f_{2}(x_{1},t;x_{2},t-\tau )dx_{1}dx_{2}}$, где ${\displaystyle \mathbb {E} }$ — математическое ожидание, ${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle x_{2}^{*}}$ — значения случайных величин ${\displaystyle X(t)}$ и ${\displaystyle X^{*}(t-\tau )}$ в моменты времени ${\displaystyle t}$ и ${\displaystyle t-\tau }$, ${\displaystyle f_{2}(x_{1},t;x_{2},t-\tau )}$ — двумерная плотность вероятности случайных величин ${\displaystyle X(t)}$ и ${\displaystyle X(t-\tau )}$. Также в литературе АКФ случайного процесса ${\displaystyle X(t)}$ определяют по формуле: ${\displaystyle {\begin{aligned}B(t,t-\tau )=\mathbb {E} [(X(t)-\mathbb {E} [X(t)])(X^{*}(t-\tau )-\mathbb {E} [X^{*}(t-\tau )])]=\\=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }(x_{1}-\mathbb {E} [X(t)])(x_{2}^{*}-\mathbb {E} [X^{*}(t-\tau )])f_{2}(x_{1},t;x_{2},t-\tau )dx_{1}dx_{2}.\end{aligned}}}$ В некоторых источниках эту функцию называют автоковариационной функций[3]. Если исходная функция строго периодическая, то на графике автокорреляционной функции тоже будет строго периодическая функция. Таким образом, из этого графика можно судить о периодичности исходной функции, а, следовательно, и о её частотных характеристиках. Автокорреляционная функция применяется для анализа сложных колебаний, например, электроэнцефалограммы человека. Содержание 1 Применение в технике 2 Другие применения 3 См. также 4 Примечания 5 Ссылки Применение в технике Корреляционные свойства кодовых последовательностей, используемых в широкополосных системах, зависят от типа кодовой последовательности, её длины, частоты следования её символов и от её посимвольной структуры. Изучение автокорреляционной функции играет важную роль при выборе кодовых последовательностей с точки зрения наименьшей вероятности установления ложной синхронизации. Другие применения Автокорреляционная функция играет важную роль в математическом моделировании и анализе временных рядов, показывая характерные времена для исследуемых процессов[4]. В частности, циклам в поведении динамических систем соответствуют максимумы автокорреляционной функции некоторого характерного параметра. См. также Теорема Хинчина — Колмогорова Корреляционная функция Взаимнокорреляционная функция Периодическая функция Корреляция Критерий Дарбина — Уотсона Дисперсия случайной величины Свёртка (математический анализ) Примечания Charles Therrien, Murali Tummala. Probability and Random Processes for Electrical and Computer Engineers. — CRC Press, 2012. — P. 287  (неопр.). Дата обращения: 8 сентября 2016. Архивировано 17 сентября 2016 года. Anthony D. Whalen. 1971. — P. 32. Берикашвили В. Ш., Оськин С. П. Статистическая обработка данных, планирование эксперимента и случайные процессы, 2019. — С. 149. Турчин П. В. Историческая динамика. М.: УРСС, 2007. ISBN 978-5-382-00104-3. Ссылки функция xcorr в MATLAB