Меню Главная Случайная статья Настройки Гиперболическое число Материал из https://ru.wikipedia.org Гиперболическое число (двойное число, паракомплесное число, расщепляемое комплексное число, контркомплексное число[1]) — гиперкомплексное число вида ${\displaystyle a+jb}$, где ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ — вещественные числа, а ${\displaystyle j^{2}=1}$, причём ${\displaystyle j\neq \pm 1}$. Сложение и умножение гиперболических чисел определяются по правилам: ${\displaystyle (x+jy)+(x'+jy')=(x+x')+j(y+y')}$, ${\displaystyle (x+jy)\cdot (x'+jy')=(xx'+yy')+j(xy'+yx')}$, деление на число, не являющееся делителем нуля: ${\displaystyle {\frac {a+bj}{c+dj}}={\frac {ac-bd}{c^{2}-d^{2}}}+{\frac {bc-ad}{c^{2}-d^{2}}}j.}$ Гиперболические числа можно представить как матрицы из вещественных чисел, при этом сложению и умножению гиперболических чисел будут соответствовать сложение и умножение соответствующих матриц: ${\displaystyle j={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}$, ${\displaystyle x+jy={\begin{pmatrix}x&y\\y&x\end{pmatrix}}}$. Название обусловлено следующей связью с гиперболическими функциями: ${\displaystyle \mathrm {e} ^{jx}=\operatorname {ch} x+j\operatorname {sh} x}$, ${\displaystyle \operatorname {sh} jx=j\operatorname {sh} x}$, ${\displaystyle \operatorname {ch} jx=\operatorname {ch} x}$. Гиперболические числа образуют двумерную ассоциативно-коммутативную алгебру над полем вещественных чисел. Алгебра гиперболических чисел содержит делители нуля (то есть такие ненулевые элементы ${\displaystyle z}$ и ${\displaystyle w}$, что ${\displaystyle zw=0}$) и поэтому, в отличие от алгебры комплексных чисел, не является полем. Все делители нуля имеют вид ${\displaystyle a\cdot (1\pm j)}$. Если взять ${\displaystyle \alpha =(1+j)/2}$ и ${\displaystyle \beta =(1-j)/2}$, то ${\displaystyle \alpha \beta =0}$, ${\displaystyle \alpha ^{2}=\alpha }$ и ${\displaystyle \beta ^{2}=\beta }$. Любое гиперболическое число может быть представлено как сумма ${\displaystyle \alpha x+\beta y}$, где ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ — вещественные числа. В таком представлении сложение и умножение производится покоординатно. Таким образом, алгебра гиперболических чисел может быть разложена в прямую сумму двух полей вещественных чисел. Среди приложений гиперболических чисел — релятивистская кинематика (в частности, геометрический смысл быстроты). Примечания С. А. Жилина. Графы отношений алгебры контрседенионов. Записки научных семинаров ПОМИ, том 482, с. 87—113. Литература Яглом И. М. Комплексные числа и их применение в геометрии (рус.). — М., 1963. — 192 с. Bencivenga, Uldrico (1946) «Sulla rappresentazione geometrica delle algebre doppie dotate di modulo», Atti della Reale Accademia delle Scienze e Belle-Lettere di Napoli, Ser (3) v.2 No7. MR: 0021123. Walter Benz (1973) Vorlesungen uber Geometrie der Algebren, Springer N. A. Borota, E. Flores, and T. J. Osler (2000) «Spacetime numbers the easy way», Mathematics and Computer Education 34: 159—168. N. A. Borota and T. J. Osler (2002) «Functions of a spacetime variable», Mathematics and Computer Education 36: 231—239. K. Carmody, (1988) «Circular and hyperbolic quaternions, octonions, and sedenions», Appl. Math. Comput. 28:47-72. K. Carmody, (1997) «Circular and hyperbolic quaternions, octonions, and sedenions — further results», Appl. Math. Comput. 84:27-48. William Kingdon Clifford (1882) Mathematical Works, A. W. Tucker editor, page 392, «Further Notes on Biquaternions» V.Cruceanu, P. Fortuny & P.M. Gadea (1996) A Survey on Paracomplex Geometry, Rocky Mountain Journal of Mathematics 26(1): 83-115, link from Project Euclid. De Boer, R. (1987) «An also known as list for perplex numbers», American Journal of Physics 55(4):296. Anthony A. Harkin & Joseph B. Harkin (2004) Geometry of Generalized Complex Numbers, Mathematics Magazine 77(2):118-29. F. Reese Harvey. Spinors and calibrations. Academic Press, San Diego. 1990. ISBN 0-12-329650-1. Contains a description of normed algebras in indefinite signature, including the Lorentz numbers. Hazewinkle, M. (1994) «Double and dual numbers», Encyclopaedia of Mathematics, Soviet/AMS/Kluwer, Dordrect. Kevin McCrimmon (2004) A Taste of Jordan Algebras, pp 66, 157, Universitext, Springer ISBN 0-387-95447-3 Шаблон:Mr C. Muss, «Applied hypernumbers: Computational concepts», Appl. Math. Comput. 3 (1977) 211—226. C. Muss, «Hypernumbers II—Further concepts and computational applications», Appl. Math. Comput. 4 (1978) 45-66. Olariu, Silviu (2002) Complex Numbers in N Dimensions, Chapter 1: Hyperbolic Complex Numbers in Two Dimensions, pages 1-16, North-Holland Mathematics Studies #190, Elsevier ISBN 0-444-51123-7. Poodiack, Robert D. & Kevin J. LeClair (2009) «Fundamental theorems of algebra for the perplexes», The College Mathematics Journal 40(5):322-35. J. Rooney. Generalised Complex Numbers in Mechanics // Advances on Theory and Practice of Robots and Manipulators: Proceedings of Romansy 2014 XX CISM-IFToMM Symposium on Theory and Practice of Robots and Manipulators / Marco Ceccarelli and Victor A. Glazunov. — Springer, 2014. — Vol. 22. — P. 55–62. — ISBN 978-3-319-07058-2. — doi:10.1007/978-3-319-07058-2_7.